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1、2.3变量间的相关关系,1、相关关系,自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系.,一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或负相关，类似于函数的单调性.,不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系.,2、相关关系与函数关系的异同点：,相同点：均是指两个变量的关系,3、散点图,在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图.,知识探究（一）：回归直线,思考1：一组样本数据的平均数是样本数据的中心，那么散点图中样本点的中心如何确定？它一定是散点图中的点吗？,思考2：在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，
2、有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？,这些点大致分布在一条直线附近.,思考3：如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.,只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围的时候，才可以说两个变量之间具有线性关系，才有两个变量的正线性相关和负线性相关的概念，才可以用回归直线来描述两个变量之间的关系,知识探究（二）：回归方程,在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程，回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么我们就可以比较具
3、体、清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估计.,思考1：回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？,整体上最接近,整体上最接近,方案一：采用测量的方法：先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。,三、如何具体的求出这个回归方程呢？,方案二: 在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同。,三、如何具体的求出这个回归方程呢？,方案三: 在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。,三、如何具体的求出这个回归
4、方程呢？,设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据： （x1，y1），（x2，y2），（xn，yn） 当变量x取x1，x2，xn时，可以得到： 它与实际收集得到的 之间偏差是：,这样，用这n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。,设所求的回归直线方程为 其中a，b是待定系数。,这n个偏差的和：,为了方便运算，人们更喜欢用：,最小二乘法的步骤：,（1）收集样本数据，（xi，yi).,（2）作散点图，确定x、y具有线性相关关系.,例2、（07广东）下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据. X 3 4 5 6
5、y2.5 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y= ; （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：32.5+43+54+64.566.5）,求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：,第一步，计算平均数 ,第二步，求和 ,第三步，计算,第四步，写出回归方程,练习2-1、 观察两相关量得如下数据:,求两变量间的回归方程.,解：列表：,计算得：,所求回归直线方程为,注意：求回归直线方程的步骤：,第一
6、步：列表,第二步：计算：,第三步：代入公式计算b，a的值,第四步：列出直线方程。,练习2-2、:给出施化肥量对水稻产量 影响的试验数据：,(1)画出上表的散点图; (2)求出回归直线并且画出图形.,从而得回归直线方程是,解：(1)散点图（略） (2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格,(图形略),故可得到,4、利用回归直线方程对总体进行估计,练习2-3、炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量X与冶炼时间y（从炉料熔化完毕到出刚的时间）的一列数据，如下表所示：,（1）作出散点图，找规律。 （2
7、）求回归直线方程。 （3）预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？,解: (1) 作散点图.从图可以看出,各点分布在一条直线附近,即它们线形相关.,(2)列出下表,并计算,设所求的回归直线方程为,其中a,b的值使,的值最小.,所以回归直线的方程为 =1.267x-30.51,(3)当x=160时, 1.267.160-30.51=172,归纳：,1.求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：,第一步，计算平均数 ,第二步，求和 , (列表）,第三步，计算,第四步，写出回归方程,2.回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近.对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性.,3.对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.,基础知识框图表解,变量间关系,