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1、一、概率密度的概念与性质,二、常见连续型随机变量及其概率分布,三、小结,第四节 连续型随机变量及其概率密度,一、概率密度的概念与性质,1.概率密度函数的定义,存在,概率密度函数,简称概率密度.,连续型随机变量的分布函数是连续函数.,2.概率密度函数的性质,证明,1,同时得以下计算公式,注意,对于任意指定值 a,连续型随机变量取 a的概,率等于零.,即,证明,连续型随机变量取值落在某区间的概率与端点无关,注意,若X是连续型随机变量，, X=a 是不可,能事件，,则有,连 续 型,若 X 为离散型随机变量,离 散 型,例1,其他.,(3) 求,解,得,解得,其他.,(3),即,二、常见连续型随机变
2、量及其概率分布,(一)均匀分布,其他,均匀分布概率密度函数演示,概率密度函数图形,均匀分布的意义,分布函数,均匀分布分布函数图形演示,例2,均匀分布在,解,按题意,其他.,故有,(二) 指数分布,其他,其他.,有,事实上,指数分布的重要性质 :“无记忆性”.,那么无记忆性表明:,的条件概率与从开始使用时算起，它至少能用t 小时,这就是说：,的概率相等.,某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布.,应用与背景,(三)、正态分布,正态分布的概率密度函数,正态分布或高斯分布.,高斯资料,得到,则有,利用极坐标将它化成累次积分,得到,故有,即
3、有,于是,性质:,有,轴平移,而不改变其形状,可见正态分布的概率密,为位置参数.,称轴不变,而形状在改变,图形越高越瘦,图形越矮越胖.,即有,易知,正态分布的应用与背景,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测,量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;,正常,情况下生产的产品尺寸、,直径、,长度、,重量高度,等都近似服从正态分布.,正态分布的计算,原函数不是,初等函数,方法一:利用MATLAB软件包计算(演示),方法二:转化为标准正态分布查表计算,引理,证,得,则,由此知,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布的图形,有,性质,证明,例3,将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容,器内.,
4、是一个随机变量,(2) 若要求保持液体的温度,解,(1) 所求概率为,即,亦即,故需,对于标准正态随机变量,的定义.,补充例题,三、小结,2. 常见连续型随机变量的分布,正态分布有极其广泛的实际背景, 是自然界和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态随机变量.,3. 正态分布是概率论中最重要的分布,二项分布、泊松分布等的极限分布是正态分布所以，无论在实践中，还是在理论上，正态分布是概率论中最重要的一种分布.,二项分布向正态分布的转换,Born: 30 Apr. 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany) Died: 23 Feb. 1855 in Gttingen, Hanover (now Germany),Carl Friedrich Gauss,高斯资料,返回,