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1、(习题课),二面角,l,从空间一直线出发的两个半,一、二面角的定义,二、二面角的平面角,l,l,平面所组成的图形叫做二面角,1、定义,例1 如图P为二面角l内一点，PA于点A,PB于点B,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。,设l与平面PAB相交于点O,PA, PB PAl , PAl,l平面PAB,连结AO、BO,则AOB为二面角l的平面角,又PA=5，PB=8，AB=7,APB= 60 AOB=120,这二面角的度数为120,解：,A,B,P,l,O,小结一,一.求二面角大小的一般步骤,找(作)二面角的平面角,证明所作角为二面角的平面角,求二面角的平面角,找,证,求,二.依据
2、定义求二面角的平面角,P,l,A,B,O,例2 如图，已知P是二面角-AB-棱上一点，过P分别在、内引射线PM、PN，且MPN=60 BPM=BPN=45 ，求此二面角的度数。,A,B,P,M,N,C,D,O,解：,在PB上取不同于P 的一点O，,在内过O作OCAB交PM于C，,在内作ODAB交PN于D，,连CD，可得,COD是二面角-AB-的平面角,设PO = a ，BPM =BPN = 45,又MPN=60,CD=PC a,COD=90,因此，二面角的度数为90,小结二,三.双垂线法求二面角的平面角,A,B,l,P,O,A,B,P,C,取AB 的中点为E，连PE，OE,O为 AC 中点，
3、ABC=90,OEBC且 OE BC,在RtPOE中， OE ，PO,所求的二面角P-AB-C 的正切值为,例3 如图， RtABC所在平面外一点P在面ABC上的射影是RtABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C的正切值。,PEO为二面角P-AB-C 的平面角,在RtPBE中，BE ，PB=1，PE,OEAB ，因此 PEAB,E,解：,l,P,A,B,小结三,四.三垂线法求二面角的平面角,A,B,C,O,三角形ABC在面内的射影为BCO ,三角形ABC的面积为S原，三角形BCO的面积为S射,则,射影面积公式,设为所求二面角的大小， S 为二面角的一个面内的平面
4、图形的面积， S为该平面图形在另一个面内的射影所组成的平面图形的面积，则,如图,已知二面角,设它的大小为,l,A,B,C,D,A1,C1,D1,E,B1,M,例4 如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。,G,AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为A1B1C1，故这两个平面所成二面角的余弦值为,F,小结四,五.射影法求二面角的平面角,设为所求二面角的大小， S原 为二面角的一个面内的平面图形的面积， S射为该平面图形在另一个面内的射影所组成的平面图形的面积，则,如图（2），设二面角 的大小为,利用向量法求二面角的平面角,方向向量法 将二面角转化
5、为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱的有向线段表示的向量）的夹角。,D,C,l,B,A,则二面角 的大小,将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。,注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角,l,法向量法,如图，向量,例5 如图, PA平面ABC，,求二面角 的大小,A,B,C,D,A1,C1,D1,B1,E,例6 如图，在长方体AC1中,点E在棱AB上移动,AD=AA1=1,AB=2,AE等于何值时，二面角 的大小为,1、如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为: A.
6、ABP B.ACP C.都不是,练 习,2、已知P为二面角 内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？,60,V,A,B,C,3.空间四边形VABC的各边及对角线均相等，求二面角 的大小,4.如图，空间三条直线PA 、PB 、PC， APC= APB=60，BPC=90，求二面角BPA C的大小 .,B,C,A,P,4.如图，在ABC 中，ADBC 于 D，E 是线段 AD上一点，且 AE= ED ，过 E 作MNBC ，且MN 交 AB 于M ，交AC于N ，以MN为棱将AMN 折成二面角AMND， 设此二面角为（0），连结 AB 、AD 、 A C
7、，求A MN 与A BC 所夹二面角的大小 .,A,B,C,D,E,N,M,A,M,N,E,B,D,C,课堂小结,一.求二面角的平面角的常用方法,二.降维思想 将空间角转化为平面角,例1 在三棱锥A-BCD中，侧面ABC底面BCD， ABBCBD1，CBACBD120。 ， 求二面角A-BD-C的大小。,同学们思考以下问题:,1.由已知条件怎样找垂线? 2.通过垂线怎样找二面角的平面角.,观察总结:图中的红色部分有什么特点?,E,G,分析:利用三垂线定理寻找二面角 的平面角,关键是如何在一个半平 面找一个点,向第二个半平面做垂 线,往往要结合所给的几何体, 找 垂直关系。,由于AB平面AD1,
8、BD1在平面AD1上的射影为AD1，过点P作PFAD1于F,则PF平面ABD1,过F作FEBD1于E，连结PE，PEF即为二面角A_BD1_P 的平面角。,例2. 如图示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P是AD的中点.求 二面角 的大小.,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,P,F,E,观察总结:计算在哪个图形中进行的?,练习1：在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC,SASC , M为AB的中点 证明ACSB; 求二面角S-CM-A的大小.,分析：证明线线垂直的思路如何？ 用三垂线定理（或逆）怎么作二面角的平面角？,S,A,B,C,M,E,F,思考: 1.怎样过二面角的其中一个平面内一点作另外一个平面的垂线? 2.在垂线的基础上怎样找二面角的平面角?,练习2:三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，PA3，AC4，PBPCBC, 求二面角A-PC-B的大小。,P,A,B,C,F,E,用三垂线定理求二面角的平面角的步骤是： 两作一连 一作垂线 二作射影(斜线) 一连斜线(射影) 计算,小 结,A,B,C,D,AB=AD， BC=CD,已知三个侧面的顶角,求相邻两个侧面所成的角,注意一些全等三角形或相似三角形,