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1、随机变量函数的分布,一、问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣.,求截面面积 A= 的分布.,例如，已知圆轴截面直径 d 的分布，,一、问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣.,已知t=t0 时刻噪声电压 V的分布，,求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等.,设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) (设g是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,下面进行讨论.,这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.,二、离散型随机变量函数的分布,解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13，,而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生
2、 的事件，两者具有相同的概率.,故,如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.,一般，若X是离散型 r.v ，X的概率函数为,则 Y=X2 的概率函数为：,三、连续型随机变量函数的分布,解：设Y的分布函数为 FY(y)，,FY(y)=P Y y = P (2X+8 y ),=P X = FX( ),于是Y 的密度函数,故,注意到 0 x 4 时，,即 8 y 16 时，,此时,Y=2X+8,求导可得,当 y0 时,注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，,解： 设Y和X的分布函数分别为 和 ，,若,则 Y=X2 的概率密度为：,从上述两例中可以看到，在求P(Yy) 的过程中，关键的
3、一步是设法从 g(X) y 中解出X,从而得到与 g(X) y 等价的X的不等式 .,用 代替 X2 y ,这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率.,这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.,例4 设随机变量X的概率密度为,求Y=sinX的概率密度.,当 y 0时,当 y 1时,故,解：注意到,=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）,解：当0y1时,例4 设随机变量X的概率密度为,求Y=sinX的概率密度.,当0y1时,解：,=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）,而,求导得:,其中，,此定理的证明与前面的解题思路类似.,x=h
4、(y)是y=g(x)的反函数,定理 设 X是一个取值于区间a,b，具有概率 密度 f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且 对于任意x, 恒有 或恒有 ，则 Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为,例6 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度.,解：,在区间(0,1)上,函数lnx0,故 y=-2lnx0,于是 y在区间(0,1)上单调下降，有反函数,由前述定理得,注意取 绝对值,已知X在(0,1)上服从均匀分布，,代入 的表达式中,得,即Y服从参数为1/2的指数分布.,对于连续型随机变量，在求Y=g(X) 的分布时，关键的一步是把事件 g(X) y 转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布来求 P g(X) y .,我们介绍了随机变量函数的分布.,