《2.6.2两个随机变量函数的分布.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.6.2两个随机变量函数的分布.ppt（37页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、我们已讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:,我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形.,当随机变量X1, X2, ,Xn的联合分布已知时，如何求出它们的函数 Yi=gi(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m 的联合分布?,一、离散型分布的情形,（一）二维离散型随机变量函数的分布律,设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为 PX=xi ,Y=yj= pij , (i, j=1,2,),且二元函数z=g(x, y)对于不同的(xi, yj)有不同 函数值，则随机变量Z=g(X, Y)的分布律为,PZ=g(xi ,yj)= pij , (i,
2、j=1,2,),（二）离散型随机变量和的分布,例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求Z=X+Y的概率函数.,解:,X+Y =r ,X=1, X+Y =r ,X=2, X+Y =r ,X=r, X+Y =r ,且诸X=i, X+Y =r ,i=1,2, ,r互不相容,例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求Z=X+Y的概率函数.,于是有:,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,此即离散 卷积公式,r=0,1,2, ,解：依题意,由卷积公式,i=0,1,
3、2,j=0,1,2,由卷积公式,即Z服从参数为 的泊松分布.,r =0,1，,例3 设X和Y相互独立，XB(n1,p),YB(n2,p),求Z=X+Y 的分布.,回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释:,我们给出不需要计算的另一种证法:,同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现 的次数,每次试验中A出现的概率为p.,若X B(n1,p),则X 是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p.,故Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p，于是Z是以（n1+n2，p）为参数的二项随机变量，即Z B(n1+n2, p)
4、.,例4 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度.,解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z),这里积分区域D=(x, y): x+y z 是直线x+y =z 左下方的半平面.,一、连续型分布的情形,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两
5、式化为:,这两个公式称为卷积公式 .,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,解: 由卷积公式,也即,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,如图示:,也即,于是,例2.25 设X和Y是两个独立的随机变量，它们 都服从N(0,1),其概率密度分别为,和,求Z=X+Y的概率密度。,解 由卷积公式知，,用类似的方法可以证明:,若X和Y 独立,结论又如何呢?,此结论可以推广到n个独立正态随机变量之和的情形.,即有：若X和Y 独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).,常数及有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.
6、,更一般地, 可以证明:,定理：设,则,例如，设X、Y独立，都服从正态分布，,服从正态分布，且,则 3X-4Y+1也,即,或,从前面例4可以看出， 在求随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布.,若每一个问题都这样求，是很麻烦的. 下面我们介绍一个用来求随机向量(X,Y)的函数的分布的定理 .,对二维情形,表述如下：,2.假定变换和它的逆都是连续的;,3. 假定偏导数,1. 设y1=g1(x1,x2), y2=g2 (x1,x2)是 到自身的一对一的映射, 即存在定义在该变换的值域上的逆
7、变换: x1=h1(y1, y2), x2=h2(y1, y2),（ i=1,2, j=1,2 ） 存在且连续;,定理 设(X1,X2)是具有密度函数 f (x1,x2)的连 续型二维随机变量,4假定逆变换的雅可比行列式,则Y1,Y2具有联合密度 w(y1,y2)=|J | f(h1(y1,y2), h2(y1,y2) （*）,即 J (y1,y2)对于在变换的值域中的(y1,y2)是不为0的.,例6 设(X1,X2)具有密度函数 f (x1,x2). 令 Y1= X1+X2，Y2= X1-X2 试用f 表示Y1和Y2的联合密度函数.,故由(*)式,所求密度函数为,解: 令y1= x1+x2,
8、 y2= x1-x2，则逆变换为,有时，我们所求的只是一个函数Z= g(X,Y)的分布 . 一个办法是：,对任意 z, 找出Z z在(x,y)平面上对应的区域g(X,Y) z，记为D.,求出Z的分布函数.,然后由,三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.,又由于X和Y 相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:,即有 FM(z)= FX(z)FY(z),FM(z)=P(Mz),=P(Xz)P(Yz),=P(Xz,Yz),由于M=ma
9、x(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有,分析：,P(Mz)=P(Xz,Yz),类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是,下面进行推广,即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),=1- P(Xz)P(Yz),设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,我们来求 M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数.,(i =0,1，, n),用与二维时完全类似的方法，可得,特别，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,N=min(X1,Xn)的分布函数是,M=max(
10、X1,Xn)的分布函数为:,FM(z)=F(z) n,FN(z)=1-1-F(z) n,若X1,Xn是连续型随机变量，在求得M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数后，不难求得M和N的密度函数.,当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,FM(z)=F(z) n FN(z)=1-1-F(z) n,需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时, 常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值 .,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.,下面我们再举一例，说明当X1,X2为离散型
11、r.v时，如何求Y=max(X1,X2)的分布.,解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n),=P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n),记1-p=q,例8 设随机变量X1,X2相互独立,并且有相同的几何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求Y=max(X1,X2)的分布 .,n=1,2,解二: P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1),=P(max(X1,X2) n )-P(max(X1,X2) n-1),=P(X1 n, X2n)-P( X1 n-1, X2 n-1),n=1,2,那么要问，若我们需要求Y=min(X1,X2)的分布，应如何分析？,留作课下思考,我们介绍了如何求r.v函数的分布.但有时我们无法精确求出此分布.,当这个积分无法精确求出时，一个可取的方法是采用计算机模拟.,例如，想求两个独立连续型r.v 之和X+Y的分布函数. X的分布函数为F，Y的分布函数为G，在理论上，可以求得：,其中f (x)是 X 的密度函数.,我们介绍了求随机向量函数的分布的原理和方法，需重点掌握的是：,请通过练习熟练掌握.,1、已知两个随机变量的联合概率分布，会求其函数的概率分布； 2、会根据多个独立随机变量的联合概率分布求其函数的概率分布,