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1、第二章 随机变量及其分布,一、随机变量,二、离散型随机变量的概率分布,三、随机变量的分布函数,四、连续型随机变量,五、随机变量函数的分布,下页,2.1 随机变量,例1.从一批种子中随机抽取20粒进行发芽试验,观察发芽粒数. 显然=0，1，20，用变量X表示发芽粒数，则X的所有可能 取值为 0，1，20.,下页,例2. 掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况. 记1= 正面朝上， 2=反面朝上 .,X也是定义在=1，2上的函数，是随机变量.,1. 随机变量的定义,下页,定义 设随机试验 E 的样本空间为 ，如果对于每一个 ，都有唯一的一个实数X()与之对应，则称X( )为 随机变量，并简记为X .
2、 注意： 1. X是定义在上的实值、单值函数. 2. 因随机试验的每一个结果的出现都有一定的概率，所以 随机变量X的取值也有一定的概率. 3. 随试验结果不同, X取不同的值，试验前可以知道它的 所有取值范围，但不能确定取什么值.,2. 用随机变量表示随机事件,例3. 在灯泡寿命试验中， 灯泡的寿命不低于1000小时可 用随机变量X表示为X1000 . 例4. 用随机变量X表示玉米穗位，则玉米穗位在100到120 厘米之间可以表示为100X120 . 例5. 正面朝上可以表示为X=1 . 一般地：X=k ，X a ，aXb表示一个随机事件.,下页,3. 随机变量的类型, 离散型随机变量 随机变
3、量的可能取值仅为有限个或可列多个. 非离散型随机变量 一般讨论：连续型随机变量.,2.2 离散型随机变量的概率分布,定义 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , , xk , X取各个值的概率为,P X = xk = pk , k = 1,2,一、离散型随机变量X的概率分布的定义及性质,一般用下面的概率分布表来表示,则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布列(律) .,下页, Pk0 (k =1,2，) ；,例1. 已知随机变量的概率分布为, 求常数a.,解：由概率分布的性质知,即 15a= 1, 解得,下页,分布列的性质,下页,例2. 在一个袋子中有10个球，其中6个白
4、球，4个红球.从中 任取3个，求抽到红球数的概率分布.,解：用X表示抽到的红球数，则X所有可能的取值为0,1,2,3, 且取每一个值的概率分别为,X概率分布律为,例3. 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投 篮投中次数X的概率分布.,PX=0=(0.1)(0.1)=0.01,PX=1= 2(0.9)(0.1) =0.18,PX =2=(0.9)(0.9)=0.81,解： 用X表示两次独立投篮投中次数，则X所有可取的值 为0、1、2 .,X的概率分布律为,下页,二、几种常见的离散型随机变量的概率分布,1、0-1分布,定义 如果随机变量 X 只可能取0和1两个值, 其概率分布为,即,下
5、页,则称 X 服从0-1分布，记作 X B (1 , p ) (p为参数).,或,特别当 n=1时，二项分布为退化为0-1分布.,2、二项分布,显然,下页,则称 X 服从参数为 n，p的二项分布, 记作XB(n, p).,定义 如果随机变量X的概率分布为, PX8=PX=8 + P X=9 + PX=10,例4.设鲁麦11号的发芽率为0.7，现播种10粒，求恰好8粒 发芽的概率；不少于8粒发芽的概率；能发芽的概率.,下页,解: 设X表示种子发芽的粒数,则X的所有可能取值为0,1,10, 且 XB(10,0.7) ，所求事件的概率为, PX=8, PX1=1-PX=0 ,解题要点：给出X的含义；
6、指出X所服从的分布.,于是所求的概率为,例5. 某人进行射击，其击中率为0.02, 独立射击400次, 试求 击中的次数大于等于2的概率.,0.9972 .,下页,解: 将每次射击看成是一次贝努里试验，X表示在400次射 击中击中的次数，则XB(400，0.02)，其分布律为,3、泊松分布,则称X服从参数为l (l0) 的泊松分布, 记为 XP(l) .,下页,定义 如果随机变量X的概率分布为,服从泊松分布的相关概率, 可查表计算. 泊松分布表 的计算为,解：设X表示呼叫数，由题意知XP(3)，则, PX=2 = PX 2PX 3 = 0.800850.57681 = 0.22404 ., P
7、 X 6 =1PX 6=10.08392 = 0.91608 ., P X 6 , 呼叫次数不小于6； 呼叫次数小于6； 呼叫数恰好为2.,下页,例6.某电话交换台在一天内的收到的呼叫次数服从参数为3 的泊松分布，求下列事件的概率:, 若一人负责维修30台设备，求发生故障不能及时维修的 概率； 若3人共同维修100台设备呢？ 需配备多少工人才能 保证不能及时维修的概率不大于0.02 ？,解：设 X表示同时发生故障的台数，则XB(n, 0.01)， 由于n较大p较小，l=np适中, 可用泊松分布作近似计算., n =30 ，p = 0.01，l=np=0.3，所求概率为, n=100，p=0.0
8、1 ，l=np=1, 所求事件概率为,下页,例7. 某厂有同类设备400台，各台工作是相互独立的，每台 发生故障的概率为0.01 . 求下列事件的概率:,解： 设配备M名工人. n =400， p=0.01，l=np= 4， 由题意PX M+10.02,由,查表得M+110，即 M9，需配备9名工人.,下页, 若一人负责维修30台设备，求发生故障不能及时维修的 概率； 若3人共同维修100台设备呢？ 需配备多少工人才能 保证不能及时维修的概率不大于0.02 ？,例7. 某厂有同类设备400台，各台工作是相互独立的，每台 发生故障的概率为0.01 . 求下列事件的概率:,4、几何分布,定义 若X的概率分布为,则称X服从参数为p的几何分布.,若X表示一个无穷次贝努利试验序列中，事件A首次发生 所需要的次数，则X服从参数为p的几何分布.,下页,作业： 52-53页 2 ， 4，6，8 ，11,结束,