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1、第三节 高斯公式与斯托克斯公式,一 问题的提出,二 Gauss 公式,三 简单应用,四 通量与散度,五 小结,一 问题的提出,格林公式表达了平面区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。而在空间上，也有同样类似的结论，这就是高斯公式，它表达了空间区域上三重积分与区域边界曲面上曲面积分之间的关系。,二 高斯公式,证明,取下侧,取上侧,根据三重积分的计算法,根据曲面积分的计算法,同理,-高斯公式,和并以上三式得：,Gauss公式的实质,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.,由两类曲面积分之间的关系知,三 高斯公式的简单应用,解,(利用柱面坐标得),使用Guass
2、公式时应注意验证条件:,解,空间曲面在 面上的投影域为,曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式,故所求积分为,利用高斯公式,四 通量与散度,1) 通量的定义:,设有向量场,2) 散度的定义:,散度在直角坐标系下的形式,积分中值定理,两边取极限,高斯公式可写成,五 小结,（1）应用的条件,（2）物理意义,2 高斯公式的实质,1 高斯公式,六 问题的提出,Stokes 公式是Green公式的推广.后者表达了平面闭区域二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而前者则表达了曲面积分与曲面边界曲线的曲线积分之间的联系.,七 斯托克斯公式,斯托克斯公式,通过右手法则来确定,证明,如图,根椐格林公式,空间有向曲线,同理可证,故有结论成立.,另一种形式,便于记忆形式，利用行列式记号把（Stokes)公式写成,Stokes公式的实质:,表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.,八 应用,解,按斯托克斯公式, 有,解,则,即,十一小结,斯托克斯公式成立的条件,斯托克斯公式,