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1、的实数 和 ,随机事件 和 相互,则称随机变量 和 相互独立.,定理1 若离散型随机变量 的可能取值为,并且对任意的 和 ,事件,则 与 相互独立.,下面给出离散型和连续型时的两个重要结论.,四、 随机变量的独立性,定义5 设 是二维随机变量,如果对于任意,独立,即,定理2 设二维连续型随机变量 的联合概,则 和 相互独立.,有,例1 设二维随机变量 的联合分布律为:,且 与 相互独立,试求 和,解 由于 与 独立,所以有,又由分布律的性质,有,所以,有,例2 设随机变量 与 相互独立,下表列出了二维,填入表中的空白处.,的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值,随机向量 联合分布律及关于 和关
2、于,例3 若(X,Y) 的联合概率密度为,问X与Y是否相互独立?,解:,X与Y不相互独立.,例4 设(X,Y)服从单位圆,上的的均匀分布，问X与Y是否相互独立？,解: 已知,X与Y不相互独立.,例5 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的概率是多少？,解: 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻,以12时为起点,以分为单位,依题意,XU(15,45), YU(0,60),甲先到 的概率,由独立性,先到的人等待另
3、一人到达的 时间不超过5分钟的概率,所求为,五、 二维随机向量函数的分布,基本任务: 已知二维随机向量(X,Y)的分布,求随机变量 的分布.,随机变量），有：,例6 设(X,Y)的联合分布律为,分别求X-Y和XY的分布律.,1. 离散型随机向量函数的分布,解:,X-Y的所有可能取值为-3，-2，-1，0.,同理有,例7 设随机变量X，Y相互独立,并且,试证,证明： 显然 的可能取值为0, 1, 2, , 并且,即,解 先求分布函数,设随机向量（X,Y）联合概率密度为,试求Z=X+Y的概率密度.,2. 连续型随机向量和的分布,或者,以上两个公式称为卷积公式.,或者,即,当X，Y相互独立时，,例8 设X,Y相互独立且均服从标准正态分布,求,解 由卷积公式,有,故,Z=X+Y的概率密度.,与例4相关的重要结论:,则,1.若 相互独立,且,2.若 相互独立,且,则,并且,例9 设X1与X 2是相互独立的随机变量，且都服,求随机变量Y , Z的数学期望与方差。,从0，1上的均匀分布，令,解:因为X1与X 2是相互独立,且,解：,P(| X-Y| 5),=P( -5 X -Y 5),=1/6,=1/2,P(XY),（1）,