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1、第二节 向量的线性相关性,第三章 向量组的线性相关性,中南财经政法大学信息系,定义 n个数a1,a2,an组成的一个有序数组 (a1,a2,an) 称为一个n维向量,记为,列向量,其中第i个数ai称为向量的第i个分量.,本书中向量一般指列向量.,行向量,一、 n维向量及其线性运算,基本单位向量组:,向量组:一组同维的行向量(列向量),称为向量组；,定义,设,向量加法,向量数乘,向量的线性运算：,这两种运算满足以下八条运算规律:,向量加法、数乘两种运算,称为向量的线性运算.,对一般的线性方程组：,则线性方程组的矩阵形式为：,向 量 与 方 程 组,方程组的向量形式,向 量 与 矩 阵,显然,矩阵
2、A既对应一个行向量组,又对应一 个列向量组:,其中,二、 向量的线性组合,则称向量 可以由向量组 线性表示 或线性表出.,(1),零向量是任意向量组的“线性组合”.,例2,线性表示 、线性组合的例：,可见方程组有唯一解:,对矩阵B 进行初等行变换,得,继续用初等行变换将矩阵化为行最简形矩阵,可得,(c为任意常数),若令c =0，有,两组向量间的线性表示：,证明：,课堂练习,返回,练习答案或提示：,注意,定义3.3,三、线性相关性的概念,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,证,四、线性相关性的判定,定理3.4,推论2,推论1,解,例,解 考虑齐次线性方程组 ，,另解：,定理3.5 向量组
3、 （当 时）线性相 关的充分必要条件是 中至少有一个 向量可由其余 个向量线性表示,证明,充分性,设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示.,即有,几个判定定理：,故,因 这 个数不全为0，,故 线性相关.,必要性,设 线性相关，,则有不全为0的数 使,因 中至少有一个不为0，,不妨设 则有,即 能由其余向量线性表示.,证毕.,部分相关,则整体相关. 整体无关,则部分无关.,定理3.6,( 不全为零),证明,这与 线性无关矛盾.,从而对(1)式变形得,设有两种表示方法,唯一性:,两式相减，得,推论,例,证明：,定理3.7,低维无关,则高维无关 ; 高维相关,则低维相关.,定理3.8,证明,根据条件,可设,A,B,(反证法)假设s t,考虑方程组CX=0,则该方程组有非零解(方程个数小于未知量的个数). 于是 BCX=0,即AX=0有非零解,这说明 线性相关,矛盾.,记矩阵,推论2,推论1,. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；,. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点）,. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 定理（难点）,四、小结,思考题,课本P104第11题。,