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1、空间向量及其运算,空间向量,1、定义：,既有大小又有方向的量。,基本概念,A,B,2、长度或模：,向量的大小,记作：,3、零向量：,长度为零的向量。,记作：,4、单位向量：,长度为1的向量。,5、相反向量：,与向量,长度相等而方向,相反的向量，称为,的相,反向量。,记作：,6、相等向量：,方向相同且模相等的向量。,2、平面向量的加法、减法,向量加法的三角形法则,推广:,（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；,（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。,3、平面向量的加法、减法,平面向量,概念,加法 减法 数乘 运算,运 算 律,定
2、义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量及其加减,空间向量,具有大小和方向的量,加法交换律,加法结合律,平面向量,概念,加法 减法 数乘 运算,运 算 律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量及其加减,空间向量,具有大小和方向的量,加法交换律,加法结合律,O,A,B,C,空间向量的加减法,O,A,B,结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。,思考：它们确定的平面是否唯一？,思考：空间任意两个
3、向量是否可能异面？,平面向量,概念,加法 减法 数乘 运算,运 算 律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量及其加减与数乘运算,空间向量,具有大小和方向的量,加法交换律,加法结合律,加法交换律,加法:三角形法则或 平行四边形法则,减法:三角形法则,加法结合律,成立吗？,O,B,C,O,B,C,(平面向量),向量加法结合律在空间中仍成立吗?,A,A,O,A,B,C,O,A,B,C,(空间向量),向量加法结合律：,空间中,平面向量,概念,加法 减法 数乘 运算,运 算 律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则
4、,空间向量,具有大小和方向的量,加法交换律,加法结合律,小结,加法交换律,加法结合律,类比思想 数形结合思想,例1:已知平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱） ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出 化简结果的向量.(如图),始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量,例如:,定义:,空间向量的数乘运算,r,大小：,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,例2:已知空间四边形ABCD，连结AC， BD， E,F分别是BC， CD的中点。化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.(如图),若P为A,B中点, 则,向量参数表示
5、式,推论:如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式 其中向量 叫做直线 的方向向量.,若 则A、B、P三点共线。,3. 共面向量,平行于同一平面的向量，叫做共面向量,空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面。,探究,对空间任意两个不共线的向量 ，如果 ，那么向量 与向量 有什么 位置关系？反过来，向量 与向量 有什 么位置关系时， ？,3. 共面向量,若向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是：存在惟一的有序实数对(x，y)，使pxayb.,A,B,C,P,O,思考：1.类似于利用向量判断三点共线
6、，如何利用向量判断四点共面？,思考：2.已知空间一点O和不共线的三点A,B,C,满足向量关系式 的点P与点A,B,C是否共面？,例2 已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量 ， ， ， ，求证： （1）E、F、G、H 四点共面； （2）平面AC/平面EG,小结作业,1.向量平行、共面与直线平行、共面是不同的概念，共线向量通过平移可以移到同一条直线上，共面向量通过平移可以移到同一个平面上.,2.空间向量共线定理与平面向量共线定理是一致的，空间向量共面定理是平面向量基本定理的拓展，是判断空间向量是否共面的理论依据.,3.利用空间向量共线定理和共面定理，可以解决立体几何中的共点、共线、共面和平行等问题，这是一种向量方法.,