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1、第三章 空间向量与立体几何,3.1.2 空间向量的数乘运算,O,B,结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.,一、空间向量数乘运算,1.实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量.,当 时，,当 时，,与向量 方向相同；,与向量 方向相同；,是零向量.,当 时，,（1）方向：,（2）大小：,的长度是 的长度的 倍.,2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,问题2：平面向量中，,的充要条件是：存在唯一,的实数 ，使,能否推广到空间向量中呢？,问题1：若,则,所在直线有那些位置关系?,零向量与任意向量
2、共线.,由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题,共线向量定理: 对空间任意两个向量 ， ， 的充要条件是存在唯一实数， 使,性质,判定,如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线，,对空间任意一点O,所以,即,若在l上取 则有,和都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定. 由此可判断空间任意三点共线。.,l,A,B,P,O,若点P是直线l上任意一点，则,由 知存在唯一的t, 满足,因为,所以,特别的，当t= 时，,则有,A,B,P,O,进一步，,t,1-t,P点为A,B 的中点,练习1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是： A.若 ，则P、A、B共
3、线 B.若 ，则P是AB的中点 C.若 ，则P、A、B不共线 D.若 ，则P、A、B共线,A、B、P三点共线,A,O,A,B,P,三、共面向量:,1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.,注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量,既可能共面，也可能不共面,由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 ， ，使,如果空间向量 与两不共线向量 ， 共 面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有,那么什么情况下三个向量共面呢？,反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如果 ，那么向量 与向量 , 有什么位 置关
4、系？,C,2.共面向量定理：如果两个向量 ， 不共线，,则向量 与向量 ， 共面的充要条件是,存在实数对x,y使,推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有 序实数对x,y使,C,对空间任一点O,有,填空：,1-x-y,x,y,C,式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.,由此可判断空间任意四点共面,练习2.若对任一点O和不共线的三点A、B、C， 且有,则x+y+z=1 是四点P、A、B、C共面的（ ）,A.必要不充分条件,C.充要条件,B.充分不必要条件,D.既不充分也不必要条件,C,P与A,B,C共面,解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只要证明存在有序实数对（x,y）使得,例1. 已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、C一定共面？,小结,共面,