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1、绝对值不等式,绝对值三角不等式,关于绝对值还有什么性质呢?,表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.,证明:10 .当ab0时,20. 当ab0时,综合10,20知定理成立.,定理2 如果a、b、c是实数, -那么|a-c|a-b|+|b-c| -当且仅当(a-b)(b-c) 0时,等号成立.,定理3 如果a、b是实数, -那么|a|-|b|a+b|a|+|b|,当且仅当ab 0时, 等号成立.,当且仅当ab 0时, 等号成立.,将定理中的实数a、b换成向量(或复数)仍成立,绝对值三角不等式的应用,证:,证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+
2、3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|2 +3=5. 所以 |2x+3y-2a-3b|5.,例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？,分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。,已知二次函数f(x
3、)=x2+ax+b(a，bR）的 定义域为-1，1，且|f(x)|的最大值为M. (1)证明： |1+b|M; (2)当 时，试求出f（x）的解析式. 由|f(x)|在-1，1上的最大值为M 建立不等式M|f（1）|，M|f（0）|，M |f（-1）|是解决问题的关键.,（1）证明 M|f（-1）|=|1-a+b|， M|f（1）|=|1+a+b|， 2M|1-a+b|+|1+a+b| |（1-a+b）+（1+a+b）|=2|1+b|， M|1+b|. （2）证明 依题意，M|f（-1）|， M|f（0）|，M|f（1）|， 又f（-1）=|1-a+b|， |f（1）|=|1+a+b|，|f（
4、0）|=|b|， 4M|f（-1）|+2|f（0）|+|f（1）| =|1-a+b|+2|b|+|1+a+b| |（1-a+b）-2b+（1+a+b）|=2，,（3）解,证明含有绝对值的不等式，其思路有 两种：（1）恰当运用|a|-|b|ab|a|+|b| 进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条 件；（2）把含有绝对值的不等式等价转化为不含 绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法 进行证明.,例4 设f(x)=ax2+bx+c，当|x|1时，总有 |f(x)|1,求证：|f（2）|8. 证明 方法一 当|x|1时,|f（x）|1， |f（0）|1，即|c|1. 又|f（1）|1，|
5、f（-1）|1， |a+b+c|1，|a-b+c|1. 又|a+b+c|+|a-b+c|+2|c| |a+b+c+a-b+c-2c|=|2a|， 且|a+b+c|+|a-b+c|+2|c|4， |a|2.,|2b|=|a+b+c-（a-b+c）| |a+b+c|+|a-b+c|2， |b|1， |f（2）|=|4a+2b+c|=|f（1）+3a+b| |f（1）|+3|a|+|b|1+6+1=8， 即|f（2）|8. 方法二 当|x|1时，|f（x）|1， |f（0）|1，| f（1）| 1，|f（-1）|1. 由f（1）=a+b+c， f（-1）=a-b+c，f（0）=c知,f（2）=|4a+2b+c| =|2f(1)+2f(-1)-4f(0)+f(1)-f(-1)+f(0)| =|3f(1)+f(-1)-3f(0)| 3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)| 31+11+31=78.,