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1、第六部分 立 体 几 何 与 空 间 向 量,退出,上一页,空间向量数量积的应用,例1 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中， 求异面直线A1B与AC所成的角,归纳生成 求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示,例2 已知空间四边形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC.M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OGBC.,归纳 abab0，事实上， 用向量法证线线垂直问题是向量的数量积的应用,已知：在空间四边形OABC中(如图)，OABC，OBAC，求证：OCAB.,已知：在空间四边形OABC
2、中(如图)，OABC，OBAC，求证：OCAB.,命题方向：距离问题 例3.已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且两两夹角为60，则AC1的长是多少？,变式：如图，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B、D间的距离,3.1.4 空间向量的正交 分解及其坐标表示,平面向量基本定理：,平面向量的正交分解及坐标表示,【温故知新】,二、空间直角坐标系,x,y,z,O,e1,e2,e3,给定一个空间坐标系和向量 ,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使 p
3、= xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.,三、空间向量的直角坐标系,x,y,z,O,e1,e2,e3,空间向量运算 的坐标表示, 则,设,一、向量的直角坐标运算,若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则,空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.,二、距离与夹角的坐标表示,1.距离公式,（1）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。,在空间直角坐标系中，已知 、 ，则,（2）空间两点间的距离公式,2.两个向量夹角公式,注意： （1）当 时， 同向； （2）当 时， 反向； （3）当 时， 。,解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 ，则,例1 如图, 在正方体 中， ，求 与 所成的角的余弦值.,证明:,设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系,小结： 1、空间向量的坐标运算； 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键： 首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。,