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1、第二章 随机变量及其分布,2.1 随机变量,例 电话总机某段时间内接到的电话次数, 可用一个变量 X 来描述：,X = 0, 1, 2, ,例 考虑“测试灯泡寿命”这一试验，以 X 记灯泡的寿命（以小时计）则：,X = t, ( t0 ),例 检测一件产品可能出现的两个结果 , 也可以用一个变量来描述:,设是随机试验E的样本空间, 若,定义,则称 上的单值实值函数 X ( )为随机变量,随机变量一般用大写英文字母X, Y , Z , 或小写希腊字母 , , , 表示,此映射具有如下特点:,定义域 事件域 ；,随机性 随机变量 X 的可能取值不止一个, 试验前只能预知它的可能的取值但不能预知取哪
2、个值；,概率特性 X 以一定的概率取某个值或某些 值 。,引入随机变量的意义,有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.,如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用 X 表示，它是一个随机变量。, 收到不少于1次呼叫 , 没有收到呼叫,可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内. 也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样。,随机变量分类,2.2 离散型随机变量 及其分布律,定义,若随机变量 X 的可能取值是有限个或可列无限多个, 则称 X 为离散型随机变量。,一、概念,例有奖
3、储蓄，20万户为一开奖组，设特等奖20名，奖金4000元；一等奖120名，奖金400元；二等奖1200名，奖金40元；末等奖4万名，奖金4元。考察得奖金额 X 。,X 的可能取值为：,解：,4000，400，40，4，0 。,.0001,.0006,描述X 的概率特性常用概率分布或分布律,即,或,分布律的性质,例1 一批产品的次品率为8% ,从中抽取1件 进行检验, 令 写出 X 的分布律.,X 的分布律为:,概率分布图 :,解：,1.两点分布( 01分布),分布律为：,或,二、几种重要的离散型随机变量,应用场合,凡试验只有两个可能结果,常用0 1分布描述,如产品是否合格, 人口性别统计, 系
4、统是否正常, 电力消耗是否超标等。,10件产品中，有3件次品，任取两件，X是“抽得的次品数”，求分布律。,X 可能取值为 0，1，2。,例2,解：,所以，X的分布律为：,注 求分布律，首先弄清 X 的确切含义及其所有可能取值。,2.二项分布,伯努利试验和二项分布,设试验 E 只有两个结果：和 ，记: 则称试验为伯努利试验。,考虑 可以用何种分布来描述伯努 利试验的结果？,答（0-1）分布,例3 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数，求X的概率分布。,将 E 独立地重复 n 次，则称这一串重复的独立试验为 n 重伯努利( Bernoull
5、i )试验，简称为伯努利( Bernoulli )试验,X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数,生男孩的概率为 p.,X=0,X =1,X =2,X =3,X =4,在 n 重伯努利试验中,事件A可能发生0, 1, 2, n 次,称 X 服从参数为 p 的二项分布。,记作：,当n=1时， P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 即0-1分布,（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 ，,伯努利试验的结果没有等可能的要求，但有下述要求：,（1）每次试验条件相同；,且P(A)=p ， ；,（3）各次试验相互独立。,二项分布描述的是 n 重伯努利试验中出现“成功”次数 X 的概率分布。,当(n+1
6、)p为整数时，二项概率P(X=k) 在 k=(n +1)p 和 k =(n+1)p-1 处达到最大值；,当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p达到最大值。,例4 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率。,解:,依题意，p = 0.05,设 X 为所取的3个中的次品数。,于是，所求概率为：,例5 设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台。试比较这两种方法在设备
7、发生故障时不能及时维修的概率大小。,X = 第1人维护的20台中同一时刻故障台数； Ai ：第i人维护的20台故障不能及时维修” （i1, 2, 3, 4）；,解： 按第一种方法。,而Xb（20, 0.01），故有80台中发生故障而不能及时维修的概率为：,设：Y=80台中同一时刻发生故障的台数；,按第二种方法。, 0.0169,第二种方法优于第一种方法,此时Yb（80, 0.01） ，,故80台中发生故障而不能及时维修的概率为：,3.Poission分布,设随机变量X所有可能取值为0,1,2.，取各个值的概率为,（）为常数,称 X 服从 参数为 的Poisson分布，记为：,如 单位时间内某电
8、话总机收到的呼叫次数X量服从泊松分布。,二项分布的Poisson近似,泊松定理,设是一个正整数， ，则有：,n100, np10 时近似效果就很好.,泊松定理表明，当 n 很大，p 很小时有以下近似式：,其中,例6 为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员 . 设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理 . 问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?,我们先对题目进行分析：,设X为300台设备同时发生故障的台数，,300台设备，独立工作，每台出故障概率p=0.01 . 可看作n=3
9、00的伯努利概型.,可见，,XB(n,p)，n=300, p=0.01,设需配备N个维修人员，,所求的是满足,的最小的N.,P( X N ) 0.01 或 P( X N ) 0.99,P(XN),n大, p小, np=3, 用 =np=3 的泊松近似,查泊松分布表得,N+1 9,即N 8,即至少需配备8个维修人员.,例3 某地的“天天彩”中奖率为p ,某人每天买 1 张, 若不中奖第二天继续买 1张, 直至中奖为止。求该人购买次数 X 的分布律。,X= k 表示购买了 k 张, 前 k-1张都未中奖, 第 k 张中了奖。,补充.几何分布,适用于试验首次成功的场合,解：,例4 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率分布。,依题意, X 可取值 0, 1, 2, 3 。,P X=0 ,=P ( A1 ) =,p =1 / 2 ,概率分布：,当随机变量为非离散型时以上方法失效。,此时，我们研究随机变量在某区间上的概率。,