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1、3.1.3空间向量的数量积运算,平面向量的夹角：,平面向量的数量积的定义：,即,你能类比平面向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律推导出空间向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律吗？,概念,1） 两个向量的夹角的定义,2）两个向量的数量积,注意： 两个向量的数量积是数量，而不是向量. 零向量与任意向量的数量积等于零。,3)空间向量的数量积特殊情况,注意： 2）是证明两向量垂直的依据； 3）是求向量的长度（模）的依据；,对于非零向量 ，有：,4)空间向量的数量积满足的运算律,思考,1.下列命题成立吗? 若 ,则 若 ,则 ,应用,由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关,所以立体几何中的距离
2、、夹角的求解都可以借助向量的数量积运算来解决. (1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角,可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便. (2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因此空间中的两点间的距离或线段的长度,可以通过求向量的模得到.,典型例题,例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.,分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！,证明：,如图,已知:,求证：,在直线l上取向量 ,只要证,为,逆命题成立吗?,变式,设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足 则BCD是 (
3、 ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定,C,分析：要证明一条直线与一个平面 垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.,例2:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 m, n,求证: .,m,n,取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?,共面向量定理,例2:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 m, n,求证: .,例3 已知线段 在平面 内，线段 ，线段 ，线段 ， ，如 果 ，求 、 之间的距离。,解：由 ，可知 . 由 知 .,课堂练习,1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB= BB1,则AB1与C1B所成角的大小为( ) A. B. C. D.,2.已知在平行六面体 中， , , 求对角线 的长。,B,小 结： 通过学习, 我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题： 1、证明两直线垂直; 2、求两点之间的距离或线段长度; 3、求两直线所成角.,