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1、3.1.4 空间向量的正交分解 及坐标表示,1,2,提问：平面内的任一向量 都可以用两个不共线的 向量 、 表示（平面向量基本定理）。 对于空间任意向量，有没有类似的结论呢 ？,空间向量基本定理,：如果三个向量 、 、,即，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来。,3,解读：,1、空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一组基底,3、用空间三个不共面的已知向量组可以 线性表示出空间任意向量，且表示的结果唯一。,2、由于零向量与任意向量都共线，与任意两个向量都共 面，所以三个向量不共面，隐含它们都不是零向量。,4,特别地： 若选择单位正交基底且建立空间直角右手坐标系， 由空间向量基
2、本定理知存在有序实数组 使得：,阅读教材P93-94页：,教材P94 例4,教材P94 练习,7,结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则,空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.,如果知道有向线段的起点和终点的坐标, 那么有向线段表示的向量坐标怎样求?,空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。,8,课堂小结： 1、空间向量基本定理； 2、空间向量的坐标表示； 3、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键： 首先要
3、选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。,3.1.5 空间向量运算 的坐标表示,以 建立空间直角坐标系O-xyz,若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则,复习：,规定：,注意：（1）当 时， 同向； （2）当 时， 反向； （3）当 时， 。,思考：当 及 时，夹角在什么范围内？,6.空间两非零向量垂直的条件,1、将空间向量的运算与坐标表示结合起来， 不仅可以解决夹角和距离的计算问题， 而且可以使一些问题的解决变得简单,2、几何问题-向量问题-向量坐标问题,3、几何推理-向量坐标计算,练习一：,2.求下列两个向量的夹角的余弦：,1.求下列两点
4、间的距离：,例题：,例1 已知 、 ，求： （1）线段 的中点坐标和长度；,解：设 是 的中点，则,点 的坐标是 .,（2）到 两点距离相等的点 的 坐标 满足的条件。,解：点 到 的距离相等，则,化简整理，得,即到 两点距离相等的点的坐标 满 足的条件是,例1 已知 、 ，求：,解：,（教材P96 例5)如图, 在正方体 中， ，求 与 所成的角的余弦值.,（教材P96 例6),教材P97 练习,证明：设正方体棱长为1， 为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：,所以,x,y,z,x,y,z,练习：,x,y,z,建立空间直角坐标系来解题。,1.基本知识：,（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；,（2）两个向量的夹角公式。,2.思想方法： 用向量计算或证明几何问题时，可以先建立 直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助 向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。,