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3.1.5空间向量运算的坐标表示(2),一、向量的直角坐标运算,二、空间向量平行和垂直的条件,三、距离与夹角,1.距离公式,（1）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。,在空间直角坐标系中，已知 、 ，则,(2)空间两点间的距离公式,2.两个向量夹角公式,注意： （1）当 时， 同向； （2）当 时， 反向； （3）当 时， 。,思考：当 及 时， 的夹角在什么范围内？,练习一：,1.求下列两个向量的夹角的余弦：,2.求下列两点间的距离：,四、应用举例,例1 已知 、 ，求： （1）线段 的中点坐标和长度；,解：设 是 的中点，则,点 的坐标是 .,（2）到 两点距离相等的点 的 坐标 满足的条件。,解：点 到 的距离相等，则,化简整理，得,即到 两点距离相等的点的坐标 满 足的条件是,例2 如图，在正方体 中， ，求 与 所成的角的余弦值。,解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 ，则,例2 如图，在正方体 中， ，求 与 所成的角的余弦值。,练习二：,练习三：,思考题：,五、课堂小结：,1.基本知识：,（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；,（2）两个向量的夹角公式。,2.思想方法：用向量计算或证明几何问题 时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐 标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。,