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1、3.1 空间向量及其运算,复习回顾： 平面向量,1.定义：,既有大小又有方向的量;,几何表示法:用有向线段表示;,字母表示法：用小写字母表示,如 ； 或者用表示向量的有向线段的起点和终点 字母表示，如 .,2、平面向量的加法、减法与数乘运算,向量加法的三角形法则,3、平面向量的加法、减法与数乘运算律,推广:,（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；,（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量.,F3,F3=15N,已知F1=10N,F2=15N，,F1,F2,这三个力两两之间的夹角都为900,它们的合力的大小为多少N?,这需要进一步来
2、认识空间中的向量,起点,终点,3.(1)我们规定，长度为0的向量叫做零向量， 记为 ；模为1的向量称为单位向量.,(2)与向量 长度相等而方向相反的向量， 称为 的相反向量，记为 ； (3)方向相同且模相等的向量称为相等向量.,平面向量,概念,加法 减法 数乘 运算,运 算 律,平面中，具有大小和方向的量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量及其加减与数乘运算,空间向量,空间中，具有大小和方向的量,数乘:ka, k为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,O,A,B,C,空间向量的数乘,空间向量的加减法,O,A,B,结论：空间任意两个向量都是共面的，所以它
3、们可用 同一平面内的两条有向线段表示； 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们；,思考：它们确定的平面是否唯一？,思考：空间任意两个向量是否可能异面？,平面向量,概念,加法 减法 数乘 运算,运 算 律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量及其加减与数乘运算,空间向量,具有大小和方向的量,数乘:ka,k为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,加法:三角形法则或 平行四边形法则,减法:三角形法则,数乘:ka,k为正数,负数,零,加法结合律,成立吗？,O,B,C,O,B,C,(平面向量),向量加法结合律在
4、空间中仍成立吗?,A,A,O,A,B,C,O,A,B,C,(空间向量),向量加法结合律：,空间中,推广:,（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；,（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量.,F1,F2,F1=10N,F2=15N,F3=15N,A,B,C,D,平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.,记做平行六面体ABCD-A1B1C1D1,例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.(如图),G,M,始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个
5、向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量,平面向量,概念,加法 减法 数乘 运算,运 算 律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量,具有大小和方向的量,数乘:ka, k为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,小结,类比思想 数形结合思想,数乘:ka, k为正数,负数,零,例如:,定义:,显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题,中点公式：,若P为AB中点, 则,A、B、P三点共线的充要条件,A、B、P三点共线,共面向量定义,平行于同一平面的向量,叫做共面向量.,注意：空间
6、任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量,既可能共面，也可能不共面,由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 ， 使,如果空间向量 与两不共线向量 ， 共 面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有,那么什么情况下空间三个向量共面呢？,反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如果 ，那么向量 与向量 , 有什么位 置关系？,C,共面向量定理：如果两个向量 ， 不共线，,则向量 与向量 ， 共面的充要条件是,存在唯一的实数对x,y使,C,空间四点P、A、B、C共面,实数对,例1、给出以下命题： （1）两个空间向量相等，则它
7、们的起点、终点相同； （2）若空间向量 满足 则 ； （3）在正方体 中，必有 ； （4）若空间向量 满足 ，则 ； （5）空间中任意两个单位向量必相等. 其中不正确命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4,C,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值.,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值.,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值.,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值.,A,B,M,C,G,D,练习1,在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC
8、、CD 边的中点,化简,A,B,C,D,D,C,B,A,练习2,在立方体AC ,中,点E是面A C 的中心,求下列各式 中的x,y.,E,例4:,B,2.对于空间中的三个向量 它们一定是： A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线又不共面向量,A,3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任 意一点O， ,则x 的值为：,D,4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？,例5. 如图，已知平行四边形ABCD，过平 面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使 求证： 四点E、F、G、H共面； 平面EG/平面AC.,O,B,A,H,G,F,E,C,D,小结,共面,作业,