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1、3.2.1利用空间向量解决平行问题,一、向量的直角坐标运算,复习,1.距离公式,（1）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。,二、距离与夹角,在空间直角坐标系中，已知 、 ，则,（2）空间两点间的距离公式,2.两个向量夹角公式,注意： （1）当 时， 同向； （2）当 时， 反向； （3）当 时， 。,思考：当 及 时，夹角在什么范围内？ 锐角和钝角,除此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.,这样，点O与向量 不仅可以确定平面 的位置，还可以具体表示出 内的任意一点。,一、平面的法向量,新课,平面的法向量：如果表
2、示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ，如果 ，那么向量 叫做平面 的法向量.,给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的.,几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有,二、平行关系：,l,m,l,巩固性训练1,1.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.,平行,垂直,平行,1.设 分别是平面,的法向量,根据 下列条件,判断,的位置关系.,垂直,平行,相交,巩固性训练2,例1 如图,在正方形ABCD-A
3、1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN平面A1BD,典型例题,分析:证明线面问题,可利用三种方法:一是证明 与平面A1BD的法向量垂直;二是在平面A1BD内找一向量与 平行;三是证明 可以用平面A1BD中的两不共线向量线性表示.,例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN平面A1BD,法1:建立如图所示的空间直角坐标系.,设正方体的棱长为1,则可求得M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).于是,设平面A1BD的法向量是 则 得,取x=1,得y=-1,z=-1, ,法2:,法3:,即 可用 与 线性表示,故 与 是共面向量,MN平面A1BD,例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN平面A1BD,例2 已知平面 经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0),试求平面 的一个法向量.,解: A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0) 设平面 的法向量是 依题意,有 ,即 解得z=0且x=2y,令y=1,则x=2 平面 的一个法向量是,