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1、一、复习引入,1.直线与平面垂直的定义、判定和性质,定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么称这条直线和这个平面垂直。,判定：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直。,性质： (1)垂直于同一个平面的两条直线平行。 (2)垂直于同一条直线的两个平面平行。,二、提出问题,1.如何用向量来表示空间直线与平面的垂直？,2.直线的向量表示为 平面怎样用向量来表达呢？,三、概念形成,概念1.平面的法向量,已知平面 ，如果向量 的基线与平面 垂直，则 叫做平面 的法向量或说向量 与平面 正交。,由平面的法向量的定义可知，平面 的法向量有无穷多个，法向量一定垂直于
2、与平面 共面的所有向量。,由于垂直于同一平面的两条直线平行，所以，一个平面的所有法向量都是平行的。,模为1的法向量，叫做单位法向量，记作 显然,正方体AC1棱长为1，求平面ADB1的一个法向量。,三、概念形成,概念1.平面的法向量,例子：,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,一个平面的法向量不只一个，但它们都是平行(或共线)的，我们借助于待定系数法可求出平面的一个法向量。,例题,例1：已知点 ， ， ，其中 求平面 的一个法向量。,三、概念形成,概念2.直线与平面垂直的判定定理的向量证明,直线与平面垂直的判定定理：,如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。,已知
3、： 是平面 内的两条相交的直线，且 求证：,三、概念形成,概念3.平面的向量表示,空间直线可以用向量来表示，对于空间的平面也可以用向量来刻画。,设A是空间任意一点， 为空间任意一个非零向量，适合条件 的点 M 的集合构成什么样的图形？,我们可以通过空间一点和一个非零向量确定唯一的一个与该向量垂直的平面。,称此为平面的向量表达式。,三、概念形成,概念4.用法向量证明平面与平面平行及垂直,设 分别是平面 的法向量，则有,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点。求证：平面DEA平面A1FD1 。,三、概念形成,概念4.用法向量证明平面与平面平行及垂直,例子,A,B,C
4、,D,A1,B1,C1,D1,利用法向量证明两个平面垂直的基本思路是证明两个平面的法向量互相垂直。,四、应用举例,例1.在正方体 中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点， 求证：平面AMN/平面EFDB。,A,B,C,D,A1,B1,D1,C1,利用法向量证明两个平面平行的基本思路是证明两个平面的法向量平行(或共线)。,四、应用举例,例2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证： (1)AD1/平面BDC1 ； (2)AC1平面BDC1 。,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,利用法向量证明直线与平面的平行的基本思路是证明法向量与直线平行(或共线)的向量
5、垂直；证明直线与平面垂直只要证明法向量与该直线共线的向量平行即可。,射影：已知平面 和一点A，过点A作 的垂线 与 交于点 ，则 就是点A在平面 内的正射影，也可简称射影。,三、概念形成,概念5.用法向量证明“三垂线定理”,预备知识：,斜线在平面上的正射影：设直线 与平面 交于点B，但不和 垂直，那么直线 叫做这个平面的斜线。斜线和平面的交点B叫做斜足。,斜线在平面上的正射影：在直线 上任取一点A，作A点在平面 内的射影 ，则平面内直线 叫做斜线 在该平面内的射影。,已知 是平面 的斜线， 是 在平面 内的射影,直线 且,三、概念形成,概念5.用法向量证明“三垂线定理”,三垂线定理：,如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。,求证：,A(1,3，3) B(9,1,1) C(1，3,3) D(9，1，1) 答案 B,答案 B,A28 B28 C14 D14 答案 D,二、填空题 4已知a(2，2,3)，b(4,2，x)，且ab，则x_.,解析 代入夹角公式，求得,分析 利用线面平行满足的条件，转化为向量运算求待定量,方法二：如图，以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系,