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1、3.2 线性相关与线性无关,3.2.1线性相关性概念,设,定义1 是m个n维向量，如果存在m个不全为零的数 使得,见书中例12（P87）,3.2.2求相关系数的方法,考虑m个n维列向量：,即 有非零解，这里 为 矩阵.求出的非零解的m个分量 就是所要求的相关系数。类似地， m个n维行向量 线性相关,例 讨论向量组 线性相关，则,的线性相关性.若,解,由于,从而,线性相关,求出一组不全为零的数,即变量个数大于方程个数有自由变量,定理3.2.2 如果向量组 线性无关，而 添加一个同维向量 后所得到的向量组 线性相关，则 可以用 线性表出，且表示法是惟一的。 证 可表性 因为 为线性相关组，所 以存
2、在不全为零的m+1个数 使得 如果 ，则 不全为零，且 ，这与 为线性无关组的假设矛盾。所以必有 ，于是得到线性表出式。,即 可由向量组 线性表出。 惟一性：如果由两个线性表出式 则有 因为 线性无关，必有 即 所以线性表出式惟一。,定理3.2.3 设 为线性相关组，则任意扩充后的同维向量组 ， 必为线性相关组。 定理3.2.3可以简述为“相关组的扩充向量组必为相关组”，或者“部分相关，整体必相关”.它的等价说法是“无关组的子向量组必为无关组”或者“整体无关，部分必无关”.,定理3.2.4 设有两个向量组，它们的前n个分量对应相等： 如果 为线性相关组，则 必为线性相关组。 证 因为 为线性相关组，所以一定存在不全为零的数 使得,其中前n个等式成立也就是下述向量方程成立： 这就证明了 为线性相关组。 我们把向量组 称为向量组 的“接长”向量组；而把向量组 称为向量组 的“截短”向量组。 定理3.2.4可以简述为“相关组的截短向量组必为相关组”.它的等价说法是“无关组的接长向量组必为无关组”. 注意: “扩充或子组”与“接长或截短”的区别，前者是维数不变，向量个数增减；后者是向量个数不变，维数增减.,例12考虑以下三个向量组: 其中,B是A的子向量组,A是B的扩充向量组,C是A的接长向量组,A是C的截短向量组.,