《3.3多维随机变量函数的分布.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.3多维随机变量函数的分布.ppt（46页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、一、多维随机变量及其联合分布,二、边际分布与随机变量的独立性,三、多维随机变量函数的分布,四、多维随机变量的特征数,第三章 多维随机变量及其分布,五、条件分布与条件期望,二、离散型随机变量的边际分布列,三、连续型随机变量的边际密度函数,一、边际分布函数,四、随机变量间的独立性,3.2 边际分布与随机变量的独立性,提出问题：,上面研究了二维联合分布，是二维随机变量的整体性质，从中还要解决如下三个个体问题：,关于每个分量的分布，即边际分布.,两个分量之间的关系、关联程度，即独立性、 协方差和相关系数.,给定一个分量时，另一个分量的分布，即条件分布.,一、边际（缘）分布函数,边缘分布的几何意义,FX
2、(x)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下左图所示区域内的概率； FY(y)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下右图所示区域内的概率。,O x x,O x,y,y,y,例3.2.1,同样有,二、离散型随机变量的边际分布列,因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边际分布函数分别为,例3.2.2 已知下列分布律求其边缘分布律.,解,注意,联合分布,边缘分布,三、连续型随机变量的边际密度函数,同理， 随机变量(X,Y)关于Y 的边际分布函数,关于Y 的边际概率密度.,解,例3.2.3,例3.2.4 设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为,试求： （1）边际密度函数pX(x)和pY(y);,（2）P
3、(X1/2).,多项分布的一维边际分布仍是二项分布.,仅就三项分布的边际分布为二项分布给予证明.,解,例3.2.5,例3.2.6,解,由于,于是,则有,即,同理可得,二维正态分布的两个边际分布都是一维正态分布,由联合分布可以求出边际分布. 但由边际分布一般无法求出联合分布. 所以联合分布包含更多的信息.,注 意 点 (1),二维正态分布的边际分布是一维正态： 若 (X, Y) N ( 1, 2 ,12, 22 , )，,注 意 点 (2),则 X N (1, 12)，,Y N (2 , 22 ).,二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.,例设 (X, Y)服从区域 D=(x, y), x
4、2+y2 1 上的均匀分布，求关于X 、Y的边际概率密度.,解 由题意得,当|x|1时，p(x, y)=0，所以 pX(x)=0,当|x|1时,注意：它不是均匀分布,即,它也不是均匀分布,1.二维随机变量的相互独立性,定义,四、随机变量间的独立性,说明,(1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为,例3.2.7,解,因为,解,记这两个数为X和Y，则X和Y都服从(0,1)上的均匀分布,例3.2.8,从(0,1)中任取两个数,求下列事件的概率： (1) 两数之和小于1.2 (2) 两数之积小于1/4,由于X和Y相互独立，其联合密度函数为,(1),(2),(X, Y) 的联合分布列为:,问
5、 X与Y 是否独立？,解: 边际分布列分别为:,X 0 1 P 0.7 0.3,Y 0 1 P 0.5 0.5,因为,所以不独立,例3.2.9,已知 (X, Y) 的联合密度为,问 X 与Y 是否独立？,所以X 与Y 独立。,注意：p(x, y) 可分离变量.,解: 边际分布密度分别为:,例3.2.10,例3.2.11,设二维随机变量 (X, Y) 的联合密度函数为,问 X 与Y 是否独立？,解,当x1时，pX(x)=0.,所以,当,时，,当y1时，pY(y)=0.,当,时，,同理,所以,由此可见：,故 X 与Y 不独立。,因为 X 与 Y 相互独立,解,所以,求随机变量 ( X, Y ) 的分布律.,例3.2.12,2. n维随机变量的的相互独立性,说明,(1) 若( X1, X2, Xn)为n维离散型随机变量，则,X1, X2, Xn相互独立，对于任意n个实数x1 , x2, , xn,有,X1, X2, Xn相互独立，对于任意n个实数x1 , x2, , xn,有,