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1、,3.3 线性相关性判定定理,定理1 向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示,证明,充分性,设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示.,即有,故,因 这 个数不全为0，,故 线性相关.,必要性,设 线性相关，,则有不全为0的数 使,因 中至少有一个不为0，,不妨设 则有,即 能由其余向量线性表示.,向量组 （当 时）线性无关 的充分必要条件是 中任何一个向 量都不能由其余 个向量线性表示,定理1的逆否命题,（A） 中有一零向量,（B） 中任意两个向量的分量成比例,（C） 中有一向量是其余向量的线性组合,（D） 中任意一个向量是其余向量的线
2、性组合,例2 若向量组 线性相关，则 是其余向量的线性组合，这种说法对吗？,不对,例如,但 不能写成其余向量的线性组合,所以线性相关,由于,由定理1知 线性相关,证,设,线性无关，而向量组线性相关，,k，（否则与线性无关矛盾）,可由线性表示.,即有,下证唯一性：,两式相减有,线性无关，,即表达式唯一.,设,定理2的逆否命题,设向量组A： 线性无关，而向量不能由向量组A线性表示，则向量组B： 线性无关。,（A）如果存在不全为零的数 使,则 线性无关,（B）若向量组 线性相关，,则 可由其余向量线性表示,（C）向量组 线性无关的充要条件是,不能由其余m1个向量线性表示。,（D）若 不线性相关，则一
3、定线性无关,例4 设 是一组n维向量，则下列结论正确的是,例5 命题：如果 线性无关，且 不能由 线性表示则 线性无关。是否为真命题？,答,此命题为定理2 的逆否命题，所以为真命题,例6 命题：设 可由 线性表示，且表示法唯一，则 线性无关。是否为真命题？,证,由已知 可由 线性表示,存在一组数 使得,设,两式相加得,因 由 唯一的线性表示,所以,所以,即 线性无关,所以此命题为真命题,证,故存在一组不全为零的数,使,从而,部分相关则整体相关,整体无关则部分无关,例7 n维向量组 线性无关的充要条件是,（A）存在一组不全为零的数,使,（B） 中任意两个向量均线性无关,（C） 中存在一个向量不能
4、由其余向量线性表示,（D） 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示,例8 设向量组 线性相关，向量组 线性无关，问,能否由 线性表示？证明你的结论,解,能,因为 线性无关，,所以 线性无关,整体无关则部分无关,而 线性相关,由定理2， 可唯一的由 线性表示,例如,是A的一个二阶子式,定理4当rn时，我们有如下推论,推论1 n个n维向量线性无关的充要条件是它们所构成的n阶方阵的行列式不等于零。,推论2 n个方程的n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充要条件是系数行列式,例 讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性,解,矩阵A中有3个2维行向量，由推论3知必线性相关。,因为 由推论1知B的三个行向量线性无关。,矩阵C的4个3阶子式全为零，故C的3个行向量线性相关。,（定理4的逆否命题）,