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1、第 四 章 数 理 统 计 的 基 础 知 识,数理统计是研究统计工作一般原理和方法的科学，它主要阐述搜集、整理、分析统计数据，并据以对研究对象进行统计推断的理论和方法，是统计学的核心和基础。,数理统计的任务就是在概率论的基础上研究怎样以有效的方式收集、整理和分析可获得的有限的, 带有随机性的数据资料,对所考察问题的统计规律性尽可能作出精确而可靠的推断或预测，为采取一定的决策和行动提供依据和建议.,数理统计与概率论是两个有密切联系的学科， 它们都以随机现象的统计规律为研究对象。,但在研究问题的方法上有很大区别：,数理统计的核心问题由样本推断总体,数理统计的一般步骤：,4.1 总体与样本 4.2
2、 统计量 4.3 常用的统计分布 4.4 抽样分布,一、总体与样本,研究某批灯泡的质量,总体,总体,1、总体与个体；总体分布,具有一定的共同属性的研究对象全体.,总体：,总体中每个对象或成员。,个体：,然而在统计研究中，人们往往关心每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.,由于每个个体的出现带有随机性，即相应的数量指标值的出现带有随机性。从而可把此种数量指标看作随机变量，我们用一个随机变量或其分布来描述总体。,通常，我们用随机变量X , Y , Z, 等表示总体。,定义,注：总体的分布一般来说是未知的，统计学的主要任务正是要
3、对总体的未知分布进行推断.,2、样本与样本值；样本分布,样本容量：样本中所含的个体的数目n.,样本值：样本的一次观察值或实现值,(2) 简单随机样本,满足上述两条性质的样本称为简单随机样本.,1. 代表性： X1,X2, Xn中每一个与所考察的总体X有相同的分布.,2. 独立性： X1,X2, Xn是相互独立的随机变量.,注：以后所考虑的样本均为简单随机样本， 并简称为样本.,（总体规模很大）,(3) 样本分布,解,练习：,比如我们从某班大学生中抽取 10 人测量身高, 得到 10 个数.,我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.,它们是样本取到的值而不是样本.,总体、样本、样本值的关系
4、,总体(理论分布)？,样本,样本值,统计是从手中已有的资料 样本值, 去推断总体的情况 总体分布F(x)的性质.,总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，,事实上, 我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值.,因而可以由样本值去推断总体.,? ? ?,是总体的代表, 含有总体的信息,分散、复杂,样本是联系二者的桥梁,二、统计量,1. 定义,由样本推断总体特征,需要对样本进行“加工”,“提炼”.这就需要构造一些样本的函数,它把样本中所含的信息集中起来.,是,不是,例1,2. 常用统计量,(1)样本平均值,(2)样本方差,其观察值,其观察值,修正样本方差,其观察值,(3)样本标准差,其观察值,(4) 样本 k 阶(原点)矩,其观察值,注：一阶原点矩即为样本均值.,(5)样本 k 阶中心矩,其观察值,上述五种统计量可统称为样本的矩统计量，简称为样本矩. 他们皆可表为样本的显式函数.,注：二阶中心矩即为未修正样本方差.,样本矩具有下列性质:,性质,仅含一个未知参数，但其分布却已知的样本函数 称为枢轴量.,