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1、专题七 概率与统计、推理与证 明、算法初步、框图、复数 第一讲 概率 考点整合 随机事件的概率 考纲点击 1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解 概率的意义，了解频率与概率的区别 2了解两个互斥事件的概率加法公式 基础梳理 一、随机事件的概率 1概率的几个性质 (1)0P(A)1； (2)若事件A为必然事件，则P(A)_； (3)若事件A为不可能事件，则P(A)_. 2互斥事件的概率加法公式 若事件A与事件B互斥，则P(AB)_. 3对立事件 若事件A与事件B互为对立事件，则P(AB)_， 即P(A)_. 答案：1.(2)1 (3)0 2.P(A)P(B) 3.1,1P(B) 整合训
2、练 1(2009年深圳模拟)从装有两个红球和两个黑球的口袋 内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A“至少有一个黑球”与“都是黑球” B“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D“至少有一个黑球”与“都是红球” 答案：C 考纲点击 古典概型与几何概型 1理解古典概型及其概率计算公式 2会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的 概率 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率 3了解几何概型的意义 基础梳理 二、古典概型与几何概型 1古典概型的概率公式 对于古典概型，任何事件的概率为： P(A)_. 2几何概型的概率公式 在几何概型中，事件A
3、的概率的计算公式为： P(A)_. 答案： 古典概型和几何概型 古典概型是一种概率模型。在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有 限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。例如：掷一次硬币的实 验，只可能出现正面或反面，由于硬币的对称性，总认为出现正面或反面 的可能性是相同的。又如对有限件外形相同的产品进行抽样检验，也属于 这个模型。是概率论中最直观和最简单的模型；概率的许多运算规则，也 首先是在这种模型下得到的。一个试验是否为古典概型，在于这个试验是 否具有古典概型的两个特征有限性和等可能性，只有同时具备这两个 特点的概型才是古典概型。 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特 征的一些随机现
4、象的概率问题： 设在空间上有一区域G，又区域g包含在 区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地 向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区 域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置 和形状无关具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型关于几 何概型的随机事件“ 向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区 域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P=g的测度/G的测度 整合训练 2(1)(2010年安徽卷)甲从正方形四个顶点中任意选择两 个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶 点连成直线
5、，则所得的两条直线相互垂直的概率是( ) (2)(2010年辽宁卷)三张卡片上分别写上字母E、E、B，将 三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为 _ 解析：(1)正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任 选一条共有36个基本事件两条直线相互垂直的情况有5种(4 组邻边和对角线)包括10个基本事件，所以概率等于 . (2)题中三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：BEE， EBE，EEB，概率为： . 答案：(1)C (2) 高分突破 互斥事件、对立事件的概率 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表， 至少有1名女生当选的概率为( ) 思路点拨：本题中“至少有1名女
6、生当选”，可分为两 种情况，“一男生一女生当选”或“二女生当选”或考虑 其对立事件“2名男生当选” 解析：法一：设A“至少有1名女生当选”； B“1男生1女生当选”；C“2女生当选”； 且事件B与事件C为互斥事件 则P(A)P(BC)P(B)P(C) 跟踪训练 1将两颗骰子投掷一次，求： (1)向上的点数之和是8的概率； (2)向上的点数之和不小于8的概率 解析：将两骰子投掷一次，共有36种情况，向上的点数 之和的不同值共11种 (1)设事件A两骰子向上的点数之和为8，事件A1 两骰子向上的点数分别为4和4，事件A2 两骰子向上的点 数分别为3和5，事件A3 两骰子向上的点数分别为2和6 ，则
7、A1与A2 、A3互为互斥事件，且A A1 A2 A3，故 (2)设事件S两骰子向上的点数之和不小于8，事件A 两骰子向上的点数之和为8，事件B两骰子向上的点数之 和为9，事件C两骰子向上的点数之和为10，事件D两 骰子向上的点数之和为11，事件E两骰子向上的点数之和 为12，则A，B，C，D，E互为互斥事件，且SABCDE ， 故P(S)P(A)P(B)P(C)P(D)P(E) 古典概型的概率问题 现有8名奥运志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语， B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、 俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组 (1)求A1被选中的概率； (2
8、)求B1和C1不全被选中的概率 思路点拨：(1)本例题可以先列举出所有基本事件和所 求事件包括的基本事件，然后根据古典概型的概率公式求解 (2)本小题可以先求对立事件的概率，然后根据对立事 件的性质求解 解析：(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名 ，其一切可能的结果组成的基本事件空间 (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1， B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2， B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2， B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1
9、，C2)，(A3，B2，C1)，(A3， B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)，由18个基本事件组成 由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本 事件的发生是等可能的 用M表示“A1被选中”这一事件，则M(A1，B1，C1)，(A1 ，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1 ，B3，C2)，事件M由6个基本事件组成 因而 (2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件 表示“B1、C1全被选中”这一事件， 跟踪训练 2(2010年湖南文数)为了对某课题进行研究，用分层抽样 方法从三所高校A，B，C的相关人员
10、中，抽取若干人组成研究小 组、有关数据见下表(单位：人) 高校相关人数抽取人数 A18x B362 C54y (1)求x，y； (2)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人 都来自高校C的概率 (2)记从高校B抽取的2人为b1、b2，从高校C抽取的3人为 c1，c2，c3，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的 基本事件有 (b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)， (b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共10种 设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事 件有(c1，c2)，(c1，c3
11、)，(c2，c3)共3种，因此 故选中的2人都来自高校C的概率为 . 几何概型的概率问题 在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对 值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点 构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率_ 思路点拨：本题是几何概型求概率问题，可以先计算出 试验的全部结果构成的区域面积和所求事件构成的区域面积 ，然后根据几何概型的概率公式求解 解析：如下图，区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部( 含边界)，区域E表示单位圆及其内部，用M表示“向D中随机投 一点，则落入E中”这一事件，则 P(M) 跟踪训练 3已知|x|2，|y|2，点P的坐标为(x，y) (1)求当x，yR时，P满足(x2)2(y2)24的概率； (2)求当x，yZ时，P满足(x2)2(y2)24的概率 解析：(1)点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界) ，满足(x2)2(y2)24的点的区域为以(2,2)为圆心，2 为半径的圆面(含边界) 所求的概率 (2)满足x，yZ，且|x|2，|y|2的点有25个， 满足x，yZ，且(x2)2(y2)24的点有6个， 所求的概率P2 .