《4.3协方差与相关系数.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《4.3协方差与相关系数.ppt（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高校理科通识教育平台数学课程 概率论与数理统计 讲授孙学峰 协方差和相关系数 4.3 协方差和相关系数 1. 定义 若EX-E(X)Y-E(Y)存在，则称其为随机变量X与Y 的协方差。记为cov(X, Y)或Cov(X, Y), 即 Cov(X,Y) = EX-E(X)Y-E(Y)协方差 2.协方差的计算 4.3.1 协方差 离散型随机向量 其中 PX=xi ,Y=yj=pij i, j=1, 2, 3, . 连续型随机向量 3. 协方差计算公式 Cov(X,Y)=E(XY )E(X)E(Y) （1）若 X与Y独立,则Cov(X, Y)=0注 （2）D(XY) = D(X) + D(Y)2Co
2、v(X, Y) 4. 协方差的性质 （1）Cov(X, Y) = Cov(Y, X) （2）Cov(aX, bY) = abCov(X, Y), a,b 为常数 （3）Cov(X1+X2, Y) = Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) （4）当X与Y相互独立时，有Cov(X, Y) = 0 例1 设二维随机变量的联合分布律为 X01 Pqp Y01 Pqp 解 由(X,Y)的联合分布律，可得X与Y的边缘分布律为 均为0-1分布，于是有 其中p+q=1，求 的 协方差 p01 0q0 10 求 解 因为 同理可得 例2 设二维（X，Y）随机变量的密度函数为 由协方差的性质(2)知, 协方
3、差取值的大小要受到量纲 的影响, 为了消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y标准 化后再求协方差 1. 定义 对于随机变量X和Y, 若D(X), D (Y), 则称 为随机变量X和Y的相关系数（标准协方差） 。 当XY = 0时 , 称X与Y不相关。 （1）|XY| 1； （2）|XY| = 1当且仅当 PY=aX+b=1 , 其中a, b为常数。 相关系数XY刻划了随机变量X和Y的线性相关程度。 4.3.1 相关系数（标准协方差） .性质 证明 （1 ） 即 (2) 由方差性质得 成立的充分必要条件为 而 的充要条件是 即 从而 且 于是由: 得 这说明X与Y是不相关的, 显然，X与Y是不相
4、互独立的 例3 若XN(0, 1), Y=X2, 问X与Y是否不相关？ 解 因为XN(0, 1), 密度函数 为偶函数,所以 但 解 X，Y的联合密度f(x,y)及边缘密度 fX(x), fY(y) 如下： 从而说明二维正态分布随机变量X、Y相互独立 =0， 即X、Y相互独立与不相关是等价的。 例4 设(X, Y)服从二维正态分布，求X, Y的相关系数。 1.将一枚不均匀硬币投掷n次，以和分别表示出现正面和 反面的次数，则和的相关系数为 （）； （）； （） ； (D) 1 。 2.设随机变量和独立同分布，记U=X+Y, V=X-Y,则和 （）不独立； （）独立； （）相关系数为； （D）相关
5、系数不为。 3.设是随机变量，=aX+b (a), 证明 ： .设随机变量的概率密度为 求与|X|的协方差，问和|X|是否不相关，是否相互独立 练 习 题 选例1 求XY 解 E(X) = 2 , E(Y) = 2； E(X2) = 9/2 , E(Y2) = 9/2； D(X) =1/2, D(Y) = 1/2。 E(XY) = Cov(X, Y) = 23/6 4 = - 1/6 ; Y 1 2 3 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6 3 1/12 1/6 0 X 1/4 1/2 1/4 选例2 设随机变量X的方差D(X)且 Y=aX+b (a ), 求X和Y的相关系数XY 解 证明 (1) 因为 同样 E(Y) = 0 于是XY= 0，所以 X与Y不相关。 选例3 已知（X,Y）的概率密度如下，试证X与Y既不 相关，也不相互独立。 显然，fX(x)fY(y)f(x,y)，因此，X与Y不相互独立。 (2 ) 选例3 已知（X,Y）的概率密度如下，试证X与Y既不 相关，也不相互独立。 作业 P120 2. 3. 4. 6.