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1、18.7 Stokes公式 环量与旋度 一、斯托克斯(stokes)公式 斯托克斯公式 是有向曲面 的 正向边界曲线 右手法则 证明如图 思路 曲面积分二重积分曲线积分 12 1 根椐格林公式 平面有向曲线 2 空间有向曲线 同理可证 故有结论成立. Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系. 斯托克斯公式格林公式 特殊情形 二、简单的应用 解1 按斯托克斯公式, 有 解2 又按斯托克斯公式, 有 解 则 即 应用Stokes公式：可将型空间曲线 积分化为二种情况计算（）化为 型曲面积分（P232例4.7.1) （）化 为型曲面积分（P233例4
2、.7.2) 应用步骤： （）选定（被 所围 的部分）并由 的方向指明 的侧 向 （）利用Stokes公式时，可将型 空间曲线积分化为化为两种曲面积 分，一般以计算较简便的为宜。 定理：设空间开区域G是单连通域，P、Q、R在G内 具有一阶连续偏导数，则以下四个命题彼此等价 1 在G内与路径无关 1. 2沿G内任意闭曲线L的线积分 2. 3在G内恒成立下列条件 三 空间曲线积分与路径无关的条件 4被积表达式是某三元函数u的全微分，即 其中 , 通 常取折线路径求u用下列公式计算 这时原函数u可用下列公式求出 例3 证明下列曲线积分与路径无关,并求积分值 解 故曲线积分与路径无关.下面求原函数u(x,y,z) 所以 三、物理意义-环流量与旋度 1. 环流量的定义: 利用stokes公式, 有 2. 旋度的定义: 斯托克斯公式的又一种形式 其中 斯托克斯公式的向量形式 其中 Stokes公式的物理解释: 例3 求下列向量场的旋度 解 解 解由力学知道点 的线速度为 观察旋度 由此可看出旋 度与旋转角速 度的关系. 四、小结 斯托克斯公式的物理意义 斯托克斯公式成立的条件 斯托克斯公式