4、随机向量及其概率分布.ppt

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1、第4章 随机向量及其概率分布,4.1 随机向量的联合分布 4.2 边缘分布 4.3 条件分布 4.4 随机变量的独立性 4.5 随机向量函数的分布,4.1 随机向量的联合分布,4.1.1 二维随机变量的联合分布函数 引例 假设某商店一天内的顾客人数X服从参 数为1000的Poisson分布；购买某种商品的人数 记为Y，若每个顾客购买这种商品的概率为 0.25，且各个顾客是否购买这种商品是相互独 立的。求一天有m个顾客进入商店且有n个顾客 购买这种商品的概率。,定义 设随机试验的样本空间为，X、Y为 定义在上的随机变量，则称(X,Y)为一个二维 随机向量。 若(X,Y)是一个二维随机变量，则称函

2、数 F(x,y)=P(Xx,Yy) (等式右边表示随机事件Xx、Yy的乘积的 概率)为随机变量(X,Y)的(联合)分布函数。,二维随机向量(X,Y)的分布函数F(x,y)的性质： 0F(x,y)1且F(-,y)=F(x,-)=0， F(+,+)=1； 当x固定时F(x,y)是y的单调不减函数，当y 固定时F(x,y)是x的单调不减函数； F(x,y)最多有可列个间断点，且在间断点 (x0,y0)处关于x和y都是右连续。,例 已知(X,Y)的分布函数为 求： A、B； 概率P(0X1,0Y1)。,4.1.2 二维离散型随机向量 定义 若二维随机变量(X,Y)只可能取有限个 或可列个值，则称(X,

3、Y)为二维离散型随机向量。 设二维离散型随机向量(X,Y)的一切可能取 值为(xi,yi)，则称 P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,3, 为X与Y的联合分布律(列)或(X,Y)的概率分布。,离散型随机向量的联合分布律的表示方法： 公式法： P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,3, 列表法：,例 从分别标有1,2,2,3,3,4的6个球中任取3个 球，用X、Y分别表示其中的最小号码和最大号 码，求： X、Y的联合概率分布； 概率P(X+Y5)。 离散型随机向量的联合概率分布的性质： pij0； p11+p12+p1n+p21+p22+p2n+pn1+pn2+pnn+

4、=1。,4.1.3 二维连续型随机向量 定义 对二维随机向量(X,Y)，若存在非负可 积函数f(x,y)，有 则称(X,Y)为二维连续型随机向量，f(x,y)为X与Y 的联合概率密度函数或(X,Y)的密度函数，简记 为(X,Y)f(x,y)。,连续型随机向量的密度函数f(x,y)的性质： f(x,y)0； 例 设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度函 数为 求：A；P(X+Y1)。,定理 若二维随机向量(X,Y)的联合概率密度 函数为f(x,y)，联合分布函数为F(x,y)。则有 例 随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为 求：A；P(XY)；(X,Y)的联合分布函数 F(x,y)。,例 随机

5、向量(X,Y)的联合概率密度函数为 求：A；P(XY)。 定义 若随机向量(X,Y)的密度函数为 则称随机向量(X,Y)服从D上的均匀分布。,定义 若随机向量(X,Y)的密度函数为 则称随机向量(X,Y)服从二维正态分布，记为 (X,Y)N(1,2,12,12,r)。,4.2 边缘分布,4.2.1 边缘分布函数 定义 对二维随机向量(X,Y)，随机变量X、Y 的分布函数称为(X,Y)关于X、Y的边缘分布函数。 定理 若(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则 (X,Y)关于X的边缘分布函数为FX(x)=F(x,+)， (X,Y)关于X的边缘分布函数为FY(y)=F(+,y)。,4.2.2 二

6、维离散型随机向量的边缘分布律 定义 若(X,Y)是二维离散型随机向量，则随 机变量X、Y的概率分布称为(X,Y)关于X、Y的边 缘概率分布。 定理 若二维离散型随机向量(X,Y)的联合概 率分布为P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,3,，则 (X,Y)关于X的边缘概率分布为 pi=P(X=xi)=pi1+pi2+pij+，i=1,2,3,， (X,Y)关于Y的边缘概率分布为 pj=P(Y=yj)=p1j+p2j+pij+，j=1,2,3,，,求边缘概率分布时，可在表格上直接进行：,例 若离散型随机向量 (X,Y)的联合概率分布如右 求(X,Y)关于X、Y的边缘概 率分布。 例 若

7、离散型随机向量 (X,Y)的联合概率分布如右 求(X,Y)关于X、Y的边缘概 率分布。,4.2.3 二维连续型随机向量的边缘密度 定义 若(X,Y)为二维连续型随机向量，则称 随机变量X、 Y的概率密度为(X,Y)关于X、Y的边 缘概率密度。 定理 若(X,Y)f(x,y)，则(X,Y)关于X、Y的边缘 概率密度分别为：,例 若二维连续型随机向量(X,Y)的联合概率 密度为： 求： c的值； (X,Y)关于X、Y的边缘概率密度。,4.3 条件分布,4.3.1 条件分布函数 定义 (X,Y)为二维随机向量，若对固定的x， 极限 存在，则称之为在X=x下Y的条件分布函数，记 为FY|X(y|x)。

8、,定义 (X,Y)为二维随机向量，若对固定的y， 极限 存在，则称之为在Y=y下X的条件分布函数，记 为FX|Y (x|y)。,4.3.2 二维离散型随机向量的条件分布律 定义 设(X,Y)为二维离散型随机向量， 若对固定的xi，有PX=xi0，则称 为在条件X=xi下Y的条件分布列。 若对固定的yj，有PY=yj0，则称 为在条件Y=yj下X的条件分布列。,例 若二维离散型随机向量(X,Y)的联合概率 分布如右，求： 边缘分布； 在条件Y=2下 X的条件分布； 条件X=2下Y的 条件分布。,4.3.3 二维连续型随机变量的条件分布密度 定义 设(X,Y)为二维连续型随机向量， 若对固定的x，

9、有fY(y) 0，则称 为在条件X=x下Y的条件分布。 若对固定的y，有fY(y) 0，则称 为在条件Y=y下X的条件分布。,例 若二维连续型随机向量(X,Y)的联合概率 密度为： 求： (X,Y)关于X、Y的边缘密度函数； 在条件X=0下Y的条件密度函数； 条件密度函数fX|Y(x|y)。,4.4 随机变量的独立性,定义 设(X,Y)为二维随机向量，若对任意x、 yR，有 F(x,y)=FX(x)FY(y) 则称X与Y相互独立。 定理 若X与Y相互独立，则 FX|Y (x|y)=FX(x)； FY|X (y|x)=FY(y)。,若离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布为 PX=xi ,Y=y

10、j=pij，i,j=1,2,3,， 则X与Y相互独立的充要条件为：对任意i,j， pij=pipj 例 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率分布 如右图： 且X与Y相互独立， 求a、b的值。,若连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)，则X与Y相互独立的充要条件为： f(x,y)=fX(x)fY(y) 例 已知随机向量(X,Y)的联合概率密度为 判断X与Y是否相互独立。 例 已知Xe(1)，Ye(2)，且X与Y相互独立， 求P(XY)。,定义 设随机试验的样本空间为，X1、X2、 、Xn为定义在上的随机变量，则称(X1,X2, ,Xn)为一个n维随机向量。 若(X1,X2,Xn)

11、是一个n维随机向量，则称 函数 F(x1,x2,xn)=P(X1x1,X2x2,Xnxn) 为随机向量(X1,X2,Xn)的(联合)分布函数。 函数 FXi(x)=P(Xix) 为随机向量(X1,X2,Xn)关于Xi的的边缘分布函数。,定义 若随机向量(X1,X2,Xn)的(联合)分布函 数F(x1,x2,xn)及其边缘分布函数FXi(x)满足 F(x1,x2,xn)=FX1(x1)FX2(x2)FXn(xn) 则称X1、X2、Xn相互独立。 定理 若X1、X2、Xn相互独立，则其中任 意k个随机变量也相互独立，2kn 。,定义 若随机向量(X1,X2,Xm)、(Y1,Y2,Yn) 和(X1,

12、X2,Xm,Y1,Y2,Yn)的(联合)分布函数分别 为F1(x1,x2,xm)、F2(y1,y2,yn)和F(x1,x2,xm,y1,y2,yn)，且 F(x1,x2,xm,y1,y2,yn)=F1(x1,x2,xm)F2(y1,y2,yn) 则称(X1,X2,Xm)与(Y1,Y2,Yn)相互独立。 定理 若(X1,X2,Xm)与(Y1,Y2,Yn)相互独立， 对任意函数g和h，则g(X1,X2,Xm)与h(Y1,Y2,Yn) 相互独立。,定理 若(X1,X2,Xm)与(Y1,Y2,Yn)相互独立， 记 则Ak与Ak、Ak与Bk、Bk与Ak、Bk与Bk相互独立。,4.5 随机向量函数的分布,

13、定义 设(X,Y)是二维随机变量，Z是随机变量。 对连续函数g(x,y)，若X=x和Y=y描述的事件发生 时，Z=g(x,y)描述的事件一定会发生，则称随机 变量Z为(X,Y)的函数，记为Z=g(X,Y)。 求二维随机变量(X,Y)的函数Z的分布时，常 把Z描述的事件转化为用(X,Y)表示。,4.5.1 二维离散型随机变量函数的分布 例 设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布 为 求X+Y、X-Y、XY、X/Y的概率分布。,总结 求离散型随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y) 的概率分布的步骤为： 把(X,Y)的取值代入z=g(x,y)中得到Z的所有 取值； 对Z的每一个取值z0，找出所有

14、满足g(x,y)=z0 的(x,y)，把对应的概率PX=x,Y=y相加得到 P(Z=z0)。 例 设Xg(p1)，Yg(p2)，且X与Y相互独立，求 X+Y的概率分布。,定理 对和的分布，重要的离散型分布的结 果： 设XB(n1,p)，YB(n2,p)，且X与Y相互独立， 则X+YB(n1+n2, p)； 设XP(1)，YP(2)，且X与Y相互独立，则 X+YP(1+2)。 定义 若两个同种分布的随机变量的和仍服从 这种分布，并且和的参数等于参数的和，则称这 种分布具有可加性或再生性。,4.5.2 二维连续型随机向量函数的分布 已知(X,Y)f(x,y)，g(x,y)为已知函数，求 Z=g(X

15、,Y)的概率密度的步骤为： 把FZ(z)转化为用(X,Y)表示(其中Dz为区域或 者几个区域的并)：FZ(z)=P(Zz)=P(g(X,Y)z)=P(X,Y)Dz)； 计算积分FZ(z)=P(X,Y)Dz 对FZ(z)求导得到Z的概率密度。 这种方法一般称为分布函数法。,例 已知 求X+Y的概率分布。 定理 已知(X,Y)f(x,y)，则X+Y的概率密度为 已知XfX(x)，YfY(y)，且X与Y相互独立，则 X+Y的概率密度为两个概率密度的卷积,例 若Xe(2)，Ye(3)，且X与Y相互独立， 求maxX,Y、 minX,Y的概率密度。 定理 已知(X,Y)f(x,y)，则 U=maxX,Y的概率密度为 V=minX,Y的概率密度为,例 若XN(0,1)，YN(0,1)，且X与Y相互独 立，求X2+Y2的概率密度。,