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1、大数定律和中心极限定理,probability,probability,背景 大数定律，是对“频率稳定性”， 给出理论上的论证,当实验的次数无限增大时，事件发生的 频率逼近与某一个数值（事件发生的概率）,大数定律,一. 概率不等式,1. 马尔可科夫(Markov)不等式,设随机变量 Y 的 k 阶绝对原点矩 E |Y |k 0, 有,马尔科夫不等式证明 证 仅证明连续型随机变量的情形，设随机变 量Y 的概率密度函数为 fY ( y ), 有,对马尔可科夫不等式特别取 k = 2，令 Y = XE(X )，E|Y|2=D(X ) 存在，有切比雪夫不等式成立.,2. 切比雪夫(Chebyshev)
2、不等式,大数定律,设随机变量Xn，n=1,2相互独立，且具有相同的数学期望和方差， E( Xk ) = m , D( Xk ) = s2，则对于于任意的e 0，有：,随机变量Xn，n=1,2的算术平均值收敛于其数学期望m,（贝努里(Bernulli)大数定律）,此定理以严格的数学形式描述了频率的稳定性.,设 是n次重复独立试验中事件A发生的频率，,p是事件A在每次试验中发生的概率, 则对任意,贝努里大数定律的重要意义： 贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意义，贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的方法，既然频率m/n与概率
3、p有较大偏差的可能性很小，我们便可以通过做试验确定某事件发生的频率并把它作为相应的概率估计。,小概率事件原理 概率很小的事件，在一次试验中几乎是不可能发生的，从而在实际中可看成不可能事件.,切比雪夫不等式,切比雪夫大数定理,贝努里大数定律,小概率事件原理,林德伯格列维 中心极限定理,棣莫佛拉普拉斯 中心极限定理,例1 设随机变量X1, X2, X10相互独立并且服从相同的分布, 已知它们的数学期望等于0, 方差等于1, Y = X1+ X2+ + X10, 请估算概率 P 10Y 10 之值。,解 E(Y) = 0, D(Y) = 10,P10Y10=P|Y |10 =P|YE(Y)|10 ,
4、由切比雪夫不等式, 有,例2 将一枚均匀硬币连续抛 n 次,试用切比雪夫不等式求出 n ,使下式成立.,其中 A = 出现正面 ,解 有P( A )=1/2，令,由切比雪夫不等式可得,例 泊松大数定律,设Xk，k=1,2是相互独立的随机变量序列,则随机变量序列Xk, k=1,2服从大数定律.,分析 根据切比雪夫大数定理仅需证明存在常数C，使,D(Xn ) C, k = 1,2,16,背景： 有许多随机变量，它们是由大量的相互独立 的随机变量的综合影响所形成的，而其中每 个个别的因素作用都很小，这种随机变量往 往服从或近似服从正态分布，或者说它的极 限分布是正态分布，中心极限定理正是从数 学上论
5、证了这一现象，它在长达两个世纪的 时期内曾是概率论研究的中心课题。,中心极限定理,17,说明： 无论随机变量Xk，n=1,2服从什么分布，随机变量的和（ ）的极限分布是正态分布。,中心极限定理,中心极限定理,一. 中心极限定理,引例：高尔顿钉板试验,引例：高尔顿钉板试验,如上图中每一点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间。从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球，当小圆球向下降落过程中，碰到钉子后皆以1/2的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子。如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止。把许许多多同样大小的小球不
6、断从入口处放下，只要球的数目相当大，它们在底板将堆成近似于正态 的密度函数图形（即：中间高，两头低，呈左右对称的古钟型），其中n为钉子的层数。,定理1（林德伯格列维定理或 独立同分布中心极限定理）,二. 中心极限定理,设 Xk , k =1,2为相互独立, 具有相同分布的随机变量序列, 且E( Xk ) = m, D( Xk ) = s2, 则有,定理1（林德伯格列维定理或 独立同分布中心极限定理）,二. 中心极限定理,表明：当n充分大时，具有独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。,例 1：设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机取得16只，设它们的寿命是相互独立的,求这
7、16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。,定理2（棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理）,设随机变量序列 Yn ，Yn B( n, p ) ，n =1,2，,对于任意的实数 x ，有,例2：某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200 元,若老人在该年内死亡，公司付给受益人1万元。设老年人死亡率 为0.017，试求保险公司在一年内这项保险亏本的概率。,例3：设某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概 率都是0.02，各台机器工作是相互独立的，试求机器出故障 的台数不小于2的概率。,例4 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为5千克. 若用
8、最大载重量为5吨的汽车装运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.,解 设Xi ，i=1,2,n 是装运的第i 箱重量(单位:千克), n是所求箱数.,n 箱的总重量为,可将Xi ，i=1,2,n 视为独立同分布的随机 变量.,由林德伯格列维定理知，Tn 近似服从正态分布 .,故,解得,即一辆车最多可以装98箱.,例5 路边有一个售报亭, 每个过路人在报亭买报的概率是 1/3, 求: 正好售出 100 份报纸时的过路人数在 280 到 300 之间的概率。,解 设 X 是正好售出 100 份报纸时的过路人数, Xi 是售出第 i 1 份报纸后到售出第
9、 i 份报纸时的过路人数, 则,并且随机变量 X1, X2, , X100 独立同分布, 具有分布律:,因,i = 1, 2, , 100;,根据林德伯格列维定理, 所求概率,例6 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3的概率为 p = 1/3，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有 29600 30500 次纵摇角大于3的概率是多少？,解 假定船舶遭受波浪的各次冲击是独立的，记 X 为90000次冲击下纵摇角大于3的次数，故有,由棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理, 所求事件的概率,例7 随机抽查验收产品, 如果在一批产品中查出10个以上的次品, 则拒绝接收.问至少检查多少个产品, 能保证次品率为 10%的一批产品被拒收的概率不低于0.9,解 设检查的产品数为 n, 查出的次品数为X, 则X B( n, 0.1) , 按题意, 有,P 10Xn 0.9,由棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理, 有,P 10Xn ,于是,故,求解得 n146.8 或 n68.3，,所以至少取 n = 147 能够保证要求.,