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1、第三节 正态分布,正态分布是一种很重要的连续型随机变量的概率分布。生物现象中有许多变量是服从或近似服从正态分布的。许多统计分析方法都是以正态分布为基础的。此外，还有不少随机变量的概率分布在一定条件下以正态分布为其极限分布。因此在统计学中，正态分布无论在理论研究上还是实际应用中 ， 均占有重要的地位。,一、正态分布的定义及其特征 （一） 正态分布的定义 若连续型随机变量x的概率分布密度函数为 (4-6) 其中为平均数，2为方差，则称随机变量x服从正态分布(normal distribution)， 记为xN(,2)。相应的概率分布函数为 (4-7),正态分布密度曲线,(二) 正态分布的特征 1、
2、正态分布密度曲线是单峰、对称的悬钟形曲线，对称轴为x=； 2、f(x) 在 x = 处达 到 极 大 ， 极大值 ；,(二) 正态分布的特征 3、f(x)是非负函数，以x轴为渐近线，分布从-至+； 4、曲线在x=处各有一个拐点，即曲线在(-,-)和(+,+) 区间上是下凸的，在-,+区间内是上凸的；,5、正态分布有两个参数，即平均数和标准差。 是位置参数，如图35所示。 当恒定时，愈大，则曲线沿x轴愈向右移动；反之，愈小，曲线沿x轴愈向左移动。,5、正态分布有两个参数，即平均数和标准差。 是变异度参数， 如图44所示 。 当恒定时， 愈大，表示 x 的取值愈分散， 曲线愈“胖”；愈小，x的取值
3、愈集中在附近，曲线愈“瘦”。,6、分布密度曲线与横轴所夹的面积为1，即：,二、标准正态分布 由上述正态分布的特征可知 ，正态分布是依赖于参数和2 (或) 的一簇 分布 ， 正态曲线之位置及形态随和2的不同而不同 。 这就给研究具体的正态总体带来困难， 需将一般的N(，2) 转 换为 = 0,2=1的正态分布。,我们称=0,2=1的正态分布为标准正态分布(standard normal distribution)。 标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别记作(u)和(u)，由 (4-6)及(4-7) 式得： (4-8) (4-9) 随机变量u服从标准正态分布，记作N(0，1)，分布密度曲线如图
4、37所示。,对于任何一个服从正态分布N(,2)的随机变量x，都可以通过标准化变换： u=(x-) (4-10) 将 其变换为服从标准正态分布的随机变量u。 u 称 为 标 准 正 态变量或标准正态离差(standard normal deviate)。,三、正态分布的概率计算 （一）标准正态分布的概率计算 设u服从标准正态分布，则 u 在u1,u2 ）何内取值的概率为： (u2)(u1) 而(u1)与(u2)可由附表1查得。,例如，u=1.75 ，1.7放在第一列0.05放在第一行 。 在附表1中 ， 1.7所在行与 0.05 所在列相交处的数值为0.95994，即 (1.75)=0.9599
5、4 有 时 会 遇 到 给 定 (u) 值 ， 例 如 (u)=0.284， 反过来查u值。这只要在附表1中找到与 0.284 最接近的值0.2843，对应行的第一列数 -0.5， 对应列的第一行数 值 0.07 ，即相应的u值为 u = - 0.57，即 (-0.57)=0.284,由(4-11) 式及正态分布的对称性可推出下列关系式， 再借助附表1 ， 便能很方便地计算有关概率： P(0uu1)(u1)-0.5 P(uu1) =(-u1) P(uu1)=2(-u1) P(uu11-2(-u1) P(u1uu2)(u2)-(u1),【例4.6】 已知uN(0，1)，试求： (1) P(u-1
6、.64)? (2) P (u2.58)=? (3) P (u2.56)=? (4) P(0.34u1.53) =?,利用(4-12)式，查附表1得： (1) P(u-1.64)=0.05050 (2) P (u2.58)=(-2.58)=0.024940 (3) P (u2.56) =2(-2.56)=20.005234 =0.010468 (4) P (0.34u1.53) =(1.53)-(0.34) =0.93669-0.6331=0.30389,关于标准正态分布，以下几种概率应当熟记： P（-1u1）=0.6826 P（-2u2）=0.9545 P（-3u3）=0.9973 P（-1.
7、96u1.96）=0.95 P (-2.58u2.58)=0.99 图46 标准正态分布的三个常用概率,u变量在上述区间以外取值的概率分别为： P(u1)=2(-1)=1- P(-1u1) =1-0.6826=0.3174 P(u2)=2(-2) =1- P（-2u2） =1-0.9545=0.0455 P(u3)=1-0.9973=0.0027 P(u1.96)=1-0.95=0.05 P(u2.58)=1-0.99=0.01,（二）一般正态分布的概率计算 正 态 分 布 密度曲线和横轴围成的一个区域，其面积为1，这实际上表明了“随机变量x取值在-与+之间”是一个必然事件，其概率为1。 若随
8、机变量 x服从正态分布N(,2)，则x的取值落在任意区间 x1, x2） 的概率 ，记作P(x1 x x2)，等于图39 中阴影部分曲边梯形面积。,这表明服从正态分布N(,2)的随机变量x 在 x1 ，x2 ）内取值的概率 ， 等 于服 从 标 准 正 态 分 布 的 随 机 变 量 u 在 (x1-)/, (x2-)/）内取值的概率 。 因此，计算一般正态分布的概率时， 只要将区间的上下限作适当变换(标准化)， 就可用查标准正态分布的概率表的方法求得概率了。,【例4.7】 设x服从=30.26,2=5.102的正态分布，试求P(21.64x32.98)。 令 则u服从标准正态分布，故 =P(
9、-1.69u0.53) =(0.53)-(-1.69) =0.7019-0.04551 =0.6564,关于一般正态分布，以下几个概率(即随机变量x落在加减不同倍数区间的概率)是经常用到的。,P(-x+)=0.6826 P(-2x+2) =0.9545 P (-3x+3) =0.9973 P (-1.96x+1.96) =0.95 P (-2.58x+2.58)=0.99,1.96,2.58,0.95,0.99,生物统计中，不仅注意随机变量x落在平均数加减不同倍数标准差区间(-k,+k)之内的概率而且 也很 关心 x落在此区间之外的概率。 我们把随机变量x落在平均数加减不同倍数标准差区间之外的概率称为双侧概率(两尾概率)，记作。,0.025,0.025,