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1、第八讲一次函数二次函数幂函数,回归课本,1.二次函数的性质与图象 (1)函数y=ax2+bx+c(a0)叫做二次函数,它的定义域是R.,当=b2-4ac0时,与x轴两交点的横坐标x1x2分别是方程ax2+bx+c=0(a0)的两根;当=0时,与x轴切于一点 当0时,与x轴没有交点;,当b0时,是非奇非偶函数,当b=0时,是偶函数; 对于函数f(x),若对任意自变量x的值,都有f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称.,2.常用幂函数的图象与性质,考点陪练,1.函数y=x2+4x+3在-1,0上的最大值是_,最小值是_. 解析:y=x2+4x+3=(x+2)2-1,对称轴x
2、=-2,在-1,0的左侧,所以在-1,0上单调递增.故当x=0时,f(x)取最大值f(0)=3;当x=-1时,f(x)取最小值f(-1)=0. 答案:3 0,2.f(x)=x2+2(2-a)x+2在(-,2上是减函数,则a的取值范围_. 解析:要使f(x)在(-,2上是减函数, 只要对称轴 即可,解得a4. 答案:a4,3.已知函数f(x)=4x2-mx+5在区间-2,+)上是增函数,则f(1)的范围是() A.f(1)25 B.f(1)=25 C.f(1)25 D.f(1)25 答案:A,4.已知当mR时,函数f(x)=m(x2-1)+x-a的图象和x轴恒有公共点,则实数a的取值范围_. 答
3、案:m=0时,aR;m0时,a-1,1,解析:在函数y=x-1,y=x,y=x,y=x3中,只有函数y=x和y=x3的定义域是R,且是奇函数,故a=1,3. 答案:A,类型一 二次函数图像和性质的应用,(1)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),当=b2-4ac0时,图象与x轴有两个交点 (2)二次函数的图象与性质是历年高考的热点内容,今后仍是高考命题的热点,选择题填空题解答题三种题型中都有可能出现.,【典例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数. 分析由题目条件知二次函数过(2,-1),(-1,-1)两点,且知其最大值,所
4、以可应用一般式顶点式或两根式解题.,解法三:利用两根式. 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值ymax=8,即 解得a=-4,或a=0(舍). 所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.,类型二 二次函数在特定区间上的最值问题 解题准备:1.二次函数在闭区间上必有最大值和最小值,它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得.,3.解答此类问题往往离不开数形结合和分类讨论的数学思想,有利于培养学生综合分析问题的能力.,【典例2】已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在
5、0x1时有最大值2,求a的值. 分析作出函数图象,因对称轴x=a位置不定,故分类讨论对称轴位置以确定f(x)在0,1上的单调情况. 解当对称轴x=a0时,如图(1)所示. 当x=0时,y有最大值,ymax=f(0)=1-a. 所以1-a=2,即a=-1,且满足a0, 所以a=-1.,当0a1时,如图(2)所示.即当x=a时,y有最大值, ymax=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1. a2-a+1=2,探究已知f(x)=x2+3x-5,xt,t+1,若f(x)的最小值为h(t),写出h(t)的表达式. 分析所求二次函数解析式固定,区间变动,可考虑区间在变动过程中,二次函数的单调性,
6、从而利用二次函数的单调性求函数在区间上的最值.,评析二次函数区间最值主要有三种类型:轴定区间定,轴定区间动和轴动区间定. 一般来说,讨论二次函数在闭区间上的最值,主要是看区间是落在二次函数的哪一个单调区间上,从而应用单调性求最值.,类型三 二次函数根的分布问题,(4)二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a0)的区间根问题,一般情况下需要从三个方面考虑:判别式;区间端点函数值的正负;对称轴 与区间端点的关系.,【典例3】已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧,求实数m的取值范围. 分析本题涉及二次方程根的分布问题,很容易联想到根与系数的关系,可根据韦
7、达定理去解决.,类型四 幂函数的图象和性质应用 解题准备:幂函数性质的推广 (1)一般地,当0时,幂函数y=x有下列性质: 图象都通过点(0,0),(1,1); 在第一象限内,函数值随x的增大而增大; 在第一象限内,1时,图象是向下凹的;01时,图象是向上凸的; 在第一象限内,过(1,1)点后,图象向右上方无限伸展.,(2)当0时,幂函数y=x有下列性质: 图象都通过点(1,1) 在第一象限内,函数值随x的增大而减小,图象是向下凹的; 在第一象限内,图象向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近; 在第一象限内,过(1,1)点后,|越大,图象下落的速度越快.,解函数在(0,+)上单调递减, m
8、2-2m-30,解得-1m3. mN*,m=1,2. 又函数图象关于y轴对称, m2-2m-3是偶数. 而22-22-3=-3为奇数, 12-21-3=-4为偶数, m=1.,错源一 力求先化简,不盲目用判别式法,错源二 忽视幂函数中幂指数=0 【典例2】已知幂函数y=xn2-2n-3的图象与x,y轴都没有公共点且关于y轴对称,求整数n的值. 错解因为函数y=xn2-2n-3的图象与x,y轴都没有公共点, 所以n2-2n-30,解得-1n3. 因为n是整数,所以n=0,1,2, 又因为函数图象关于y轴对称, 所以n2-2n-3是偶数,所以n=1.,剖析错解之所以出错,是因为没有将=0考虑在内.
9、 正解因为函数y=xn2-2n-3的图象与x,y轴都没有公共点,所以n2-2n-30, 解得-1n3. 又n是整数,所以n=-1,0,1,2,3, 又因为函数图象关于y轴对称, 所以n2-2n-3是偶数,所以n=-1,1,3.,评析对于幂函数y=x而言,可以大于零也可以小于零,同时也可以等于零.=0时,幂函数变形为y=1(x0),其图象是一条直线(少一个点),如图.,错源三 混淆幂函数与指数函数的性质 【典例3】比较0.80.5,0.80.9,0.90.5,0.9-0.5的大小. 错解由指数函数单调性可得10.80.50.80.9,0.90.510.9-0.5,所以0.80.90.80.50.
10、90.510.9-0.5. 剖析错解混淆了指数函数的性质且没有比较0.80.5与0.90.5的大小.,正解因为y=x0.5在(0,+)上单调递增,且0.80.80.9. 故0.80.90.80.50.90.50.9-0.5. 评析对于幂大小的比较,指数函数与幂函数都可以利用,虽然二者形式差不多,但图象和性质差别很大,在解题中应特别注意这些差别,这是非常容易忽视而导致出错的地方.,技法一 快速解题(数形结合法) 【典例1】函数f(x)=x2+ax+5,且f(x)=f(-4-x)对于任意的xR都成立,当xm,0时,f(x)max=5,f(x)min=1,求实数m的取值范围.,快解由f(x)=x2+
11、ax+5且f(x)=f(-4-x),易知对称轴为 f(x)=x2+4x+5=(x+2)2+1,如图所示为-4m-2.,另解切入点由f(x)=f(-4-x)知,函数f(x)的图象的对称轴为 则a=4,f(x)=x2+4x+5. 分析思维过程当f(x)的对称轴为x=-2时,就能求出f(x)min=f(-2)=1,这与题设一致,其最大值为5.由对称性可知,应有两个不同的x的值,使f(x)=5,从而可得m.,解f(x)=f(-x-4), f(x)的图象关于直线x=-2对称. 由f(x)=x2+ax+5可知 ,得a=4. f(x)=x2+4x+5=(x+2)2+1. f(x)min=f(-2)=1,故-
12、2m,0即m-2. 又f(0)=5=f(x)max,f(m)=m2+4m+55, 得-4m0, -4m-2.,方法与技巧两种解法都要先求解析式,由其最大值与最小值以确定m,相比之下,数形结合法较好. 得分主要步骤由条件得知对称轴为x=-2,从而a=4得出解析式,再由最大值与最小值确定m的范围,或 由图象直接看出m的范围. 易丢分原因将f(x)=f(-x-4)变f(x+2)=f(2-x),容易看出x=2是对称轴.前一形式可能某些同学不够熟悉而不理解,则无法正确推算下去.还可能求出解析式后,也画出了图象,但看图时找不准m的位置,从而确定不准m的范围.,技法二 构造一次函数解题 【典例2】对任意a-1,1,f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零,求x的取值范围.,解因为f(x)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+(x2-4x+4),构造函数g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),a-1,1, 于是,函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零等价于g(a)0(a-1,1)恒成立,所以,技法三 构造二次函数解题,