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1、第五章 一阶逻辑等值演算与推理,第1节 一阶逻辑等值式与置换规则,第2节 一阶逻辑的前束范式,第3节 一阶逻辑推理理论,第3节 一阶逻辑推理理论,一、推理定律,二、推理规则,三、一阶逻辑自然推理系统 F,一、推理定律,第一组 命题逻辑推理定律的代换实例,分别为命题逻辑中化简律和附加律的代换实例.,例如：,第二组 由基本等值式生成的推理定律,上一节给出的两组等值式中的每个等值式可生成 两个推理定律.,和,分别由双重否定律和量词否定等值式生成.,例如：,第三组 其他重要推理定律,(1),(2),(3),(4),例如：,二、推理规则,1全称量词消去规则 ( 简记为 UI 规则或 UI ),或,两式成
2、立的条件是：,（2）在第二式中，c 为任意个体变项。,（3）用 y 或 c 去取代 中自由出现的 x 时，一定 要在x自由出现的一切地方进行取代.,（1）在第一式中，取代 x 的 y 应为任意的不在 中约束出现的个体变项.,2全称量词引入规则 ( 简记为UG 规则或UG ),（2）取代自由出现的 y 的 x 也不能在 中约束出现.,该式成立的条件是：,（1）无论 中自由出现的个体变项 y 取何值， 应该均为真.,3存在量词引入规则 ( 简称 EG 规则或 EG ),（2）取代 c 的 x 不能在 中出现过.,（1）c 是特定的个体常项.,该式成立的条件是：,4存在量词消去规则 ( 简记为EI
3、规则或 EI ),（3）若A(x)中除自由出现的 x 外，还有其它自由出现 的个体变项，此规则不能使用.,该式成立的条件是：,（1）c 是使 A 为真的特定的个体常项.,（2）c 不在 中出现.,三、一阶逻辑自然推理系统 F,3. 推理规则：,定义5.3 自然推理系统 F 定义如下：,1. 字母表. 同一阶语言 的字母表 (见定义4.1).,2. 合式公式. 同 合式公式的定义 (见定义4.1).,（1） 前提引入规则.,（2） 结论引入规则.,（3） 置换规则.,（4） 假言推理规则.,（5） 附加规则.,（6） 化简规则.,（7） 拒取式规则.,（8） 假言三段论规则.,（15）EG规则.
4、,F 中的推理过程类似命题演算自然推理系统 P.,（9） 析取三段论规则.,（10）构造性二难推理规则.,（11）合取引入规则.,（12）UI规则.,（14）EI规则.,（13）UG规则.,例5.8 设个体域为实数集合， 为 指出在推理系统F 中，以 (真命题)为 前提，推出 (假命题) 的下述推理证明中 的错误.,如果按F 中推理规则进行推理， 不会从真命题推出假命题.,在以上推理证明中，第三步错了，由于 中 除有自由出现的 y ，还有自由出现的 z ，按 EI 规则 应该满足的条件(3)，此处不能用EI 规则. 用了EI 规则，导致了从真命题推出假命题的错误.,例5.9 在自然推理系统F
5、中，构造下面推理的证明：,任何自然数都是整数；存在着自然数. 所以存在 着整数. 个体域为实数集合R.,解 先将原子命题符号化.,结论：,前提：,设 为自然数， 为整数.,证明：, 假言推理, EI规则,以上证明的每一步都是严格按推理规则及应满足的条件进行的。因此，前提的合取为真时，结论必为真。但如果改变命题序列的顺序会产生由真前提推出假结论的错误。如果证明如下进行：,在中取 , 则 为真（前件假）, 于是中 为假，这样从前件真推出了假的中间结果.,例5.10在自然推理系统F中，构造下面推理的证明：,前提:,结论:,例5.11 在自然推理系统F 中，构造下面推理的证明： (个体域为实数集合),不存在着能表示成分数的无理数, 有理数都能表示成分数. 因此，有理数都不是无理数.,作业： P86 15. (2) (4) 23.,