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1、一、直接法概述,直接法是将原方程组化为一个或若干个三角形 方程组的方法，共有若干种,对于线性方程组,其中,系数矩阵,未知量向量,常数项,根据Cramer(克莱姆)法则,若,若用初等变换法求解,则对其增广矩阵作行初等变换:,同解,即,以上求解线性方程组的方法称为Gauss消去法,则,都是三角 形方程组,上述方法称为直接三角形分解法,2 Matrix Factorization Doolittle, 道立特分解法 /* Doolittle Factorization */： LU 分解的紧凑格式 /* compact form */,反复计算, 很浪费哦 ,2 Matrix Factorizati
2、on Doolittle,固定 i : 对 j = i, i+1, , n 有,lii = 1,a,固定 j ，对 i = j, j+1, , n 有,b,上述解线性方程组的方法称为 直接三角分解法的 Doolittle法,例1. 用Doolittle法解方程组,解:,由Doolittle分解,Doolittle法在计算机上实现是比较容易的,但如果按上述流程运算仍需要较大的存储空间:,因此可按下列方法存储数据:,直接三角分解的Doolittle法可以用以下过程表示:,存储单元(位置),紧凑格式的 Doolittle法,例2. 用紧凑格式的Doolittle法解方程组(例1),解:,所以,Mat
3、rix Factorization Choleski, 平方根法 /* Choleskis Method */： 对称 /* symmetric */ 正定 /* positive definite */ 矩阵的分解法,回顾：对称正定阵的几个重要性质, A1 亦对称正定，且 aii 0,若不然，则,对任意 , 存在 , 使得 , 即 。, A 的顺序主子阵 /* leading principal submatrices */ Ak 亦对 称正定,对称性显然。对任意 有 , 其中 。, A 的特征值 /* eigen value */ i 0,设对应特征值 的非零特征向量 为 ，则 。, A
4、的全部顺序主子式 det ( Ak ) 0,因为,一、对称正定矩阵的三角分解(Cholesky分解),记为,Diagonal:对角,因此,所以,综合以上分析,则有,定理1. (Cholesky分解),且该分解式唯一,这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解,二、对称正定线性方程组的解法,线性方程组,则线性方程组(10)可化为两个三角形方程组,对称正定方程 组的平方根法,例1.,用平方根法解对称正定方程组,解:,即,三、平方根法的数值稳定性,用平方根法求解对称正定方程组时不需选取主元,由,可知,因此,平方根法是数值稳定的,事实上,对称正定方程组也可以用顺序Gauss消去法求解,而不必加
5、入选主元步骤,2 Matrix Factorization Tridiagonal System, 追赶法解三对角方程组 /* Crout Reduction for Tridiagonal Linear System */,Step 1: 对 A 作Crout 分解,直接比较等式两边的元素，可得到计算公式。,Step 2: 追即解 ：,Step 3: 赶即解 ：,与G.E.类似，一旦 i = 0 则算法中断，故并非任何 三对角阵都可以用此方法分解。,有一类方程组,在今后要学习的插值问题和边值问题中 有着重要的作用,即三对角线方程组,其形式为:,其中,-(1),以下以Crout分解导出三对角线方程组的解法,设,例1.,用追赶法解三对角线方程组,解:,因此原线性方程组的解为,