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1、5.8 真分式的部分分式分解 一个分式是两个多项式的商。设分子的次数 为n，分母的次数为m。当nm时，该分式称为 真分式；当nm时，该分式称为假分式。 假分式可以写成多项式与真分式的和。这里 主要讲解真分式的部分分式分解。 例5.35 分解 成部分分式,解：因为分母含有(x1)的三重因式，所以设 等式右边通分后得 比较等式两边分子各项的系数得 1 解得： 1 320 2 30 1 1 2 则,5.9 简单的微分方程 含有函数的导数的方程称为微分方程。如果导数 是一元函数的导数，则称为常微分方程。 微分方程的阶数：微分方程中所含未知函数的导 数的最高阶数。 微分方程的次数：微分方程中所含有的各项
2、中未 知函数及其各阶导数的次数之和的最大值。 一次微分方程称为线性微分方程。 由微分方程求原函数称为解微分方程。求出的原 函数称为微分方程的解。 含有任意常数的微分方程的解称为通解，不含有 任意常数的微分方程的解称为特解。,一阶微分方程的解法 两边积分法 形如yf(x)的微分方程可用两边积分的方法直 接求出微分方程的解。 例5.44 求经过点(3,10)，并且在每一点P(x,y)处 的切线的斜率等于该点横坐标的平方的曲线。 解：设曲线方程为yf(x)，由题意得y 初始条件为y|x=310 两边积分得 y 代入初始条件得109C，C1 故所求曲线为,可分离变量的微分方程 先把y写成 的形式，如微
3、分方程可化为 g(y)dyf(x)dx，则两边积分就可求得通解为 G(y)F(x)C 例如：解微分方程 yy2+xy2 解：原方程即 y2(1+x) 可变形为 两边积分得,第六章 定积分 6.1 定积分的概念与性质 定积分的概念 y=f(x) 求曲边梯形的面积 在直角坐标系中，设有曲线yf(x) x=a x=b 我们不妨假定f(x)0，求yf(x)、 xa、xb和X轴所围成的曲边梯形的面积。 我们可以在a,b中任意插入n1个分点把a,b 分成n个小区间xi-1,xi，其长度xixixi-1，在 每一个小区间内任取一点i，用长为f(i)宽为xi 的矩形面积代替小曲边梯形面积Si，则曲边梯形面 积
4、为这些矩形面积的和当n时的极限。,例6.1 求由曲线yx2，X轴(即直线y0)和直线x1所围成的图形的面积。 分割：在0,1之间插入n-1个 分点，每一段记作xi，则xi ， 把梯形分成n个小曲边梯形，它们的 面积为Si 替代：在xi中任取一点i(例如左端点)，用 矩形面积代替小曲边梯形面积Sif(i)xi= 作和式：Sn 求极限:当n时，S=,由此可见，求曲边梯形的面积问题可以通过分割、 替代、作和式、求极限四个步骤，最终归结为求和式 Sn 的极限问题。 定积分的概念 设函数f(x)在a,b上有定义，在a,b中任意插 入n1个分点,ax1x2xnxn+1b，把a,b 分成n个小区间xi-1,
5、xi，每一段的长度记作xi， 在每一个小区间内取一点i，作和式Sn ， 若当n时和式Sn的极限存在，则称此极限值为f(x) 在a,b上的定积分记作 ,则 其中a叫做积分下限，b叫做积分上限，a,b叫做 积分区间，f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积式， x叫做积分变量。,说明 1.曲边梯形的面积是函数yf(x)在a,b上的定积分。其中X轴上方的面积为正，X轴下方的面积为负。 2.如果定积分存在，那么对a,b所作的分割是任意的，每一个小区间内i的取法也是任意的，当n时，Sn的极限都相同。 定理6.1 如果函数f(x)在区间a,b上连续，则f(x)在 a,b上的定积分 存在。 函数f(x)在
6、a,b上的定积分 存在又称 为函数f(x)在a,b上可积。,2.定积分的性质 定积分有下列三条主要性质： 被积函数的常数因子可以提到积分号的前面， 即 ，(k为常数) 例如， 两个函数的和(或差)在区间a,b上的定积分等 于这两个函数在区间a,b上的定积分的和(或差)， 即 例如，,如果将区间a,b分成区间a,c和c,b，即 acb，那么 例如，,6.1 牛顿莱布尼兹公式 运用定积分的定义求函数的定积分是一件很困难 的事，而且和求不定积分一点都拉不上关系。有没有 简单一点的方法呢？ 定理6.2 (牛顿莱布尼兹公式) 如果函数f(x)在区间a,b上连续，F(x)是f(x)在 a,b上的一个原函数
7、，那么 习惯上，我们常将F(b)F(a)记作 这样一来， 定理6.2 称为微积分基本定理。有了这一定理， 定积分的计算问题就转化为求原函数的问题了。,求定积分的一般步骤 1.用不定积分求出被积函数的一个原函数 F(x) 2.用F(b)F(a)求出定积分的值。 例6.3 求 解： 是f(x)x2 的一个原函数 注意：定积分 表示的是一个数， 而不定积分 表示的是一族函数。,例6.3 求 解： 是f(x)5x4ex的一个原函数 例6.4 求 解： ,例6.9 求 解： f(x) ,推论1 证明：设F(x)是f(x)的一个原函数， 则 ， 。 所以 。 而 。,推论2 设f(x)在-a,a上连续，
8、当f(x)为奇函数时, 当f(x)为偶函数时, 例如：,6.3 定积分在几何上的应用 1.求平面图形的面积 当f(x)0时的情况 当f(x)0时，曲线在X轴的上方，则f(x)在 a,b上的定积分 是曲线yf(x)和xa、xb、y0所围成的曲边梯形的面积。 例1 求曲线yx2的下方与X轴上方在x0,1和x-1,1之间的面积 解：A1 A2,当f(x)0时的情况 当f(x)0时曲线在X轴的下方， 令g(x)-f(x)，则g(x)|f(x)|0， 则g(x)的曲线在X轴的上方， 面积A0， 由此可得出一个结论： 曲线yf(x)和xa、xb、y0所围成的曲边梯形的面积为 。,两条曲线围成的图形的面积
9、1.先研究两条曲线yf(x)、yg(x)与直线xa、xb围成的图形面积 当f(x)g(x)时， A,图形说明： Y y=f(x) A y=g(x) X a b,当xa,c时f(x)g(x)， xc,b时f(x)g(x) 当xa,c时，A1 当xc,b时，A2 综合上述两种情况有A,2.再研究两条曲线相交的情况 设yf(x)与yg(x)相交于两点x1，x2 则两条曲线所围成的图形的面积就是它们与直线xx1、xx2所围成的图形的面积 例2.求yx2与yx所围成的图形的面积 解：由 yx2 得 x10 x21 yx y10 y21 A,作业 P.246 7 ,8 ,9 ,11 P.248 6 ,7 ,8 P.263 3 ,4 P.287 1 ，2 ，3,5,6, 16 P.290 1 ,2 , 3 ,