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1、一、多元复合函数求导法则,二、隐函数的求导公式,5.2.3 多元复合函数的求导法则,多元函数微分学,1 基本形式的复合函数偏导数的链式法则,定理 : 设函数u=u(x,y),v=v(x,y)在点(x,y)处可导，在对应(x,y)的点(u,v)处，函数z=f (u,v)有连续偏导数，则复合函数fu(x,y),v(x,y)在点(x,y)处也可导，且,多元复合函数的微分法,其中,将y固定，给自变量x以增量x,证,于是函数u=(x, y), v=(x, y)相应有增量u,v,从而函数z=f (u, v)也有相应增量z ，,由于f (u, v)可微，所以,以x0除上式两端，得,当x0时，对上式两端取极限
2、，由定理条件即得,同理可证,上述复合函数求导法则可以推广到二元以上的多元函数.,在满足定理的相应条件下，有:,例如，对三元复合函数Q=f (u, v, w) ,其中u=u(x, y, z)，v=v (x, y, z)，w=(x, y, z).,其结构图为:,例,设 z = eu cos v，,解,因为,可得,2 其它形式复合函数偏导数的链式法则,例,解:,故,=2sinxcosx+2cosxsinx=2sin2x .,( 2) 若z=f (u)可导，u = u (x, y)有连续偏导数，(结构如右下图)，则对复合函数z=f u(x, y)有,( 3) 若z=f (x, u), u = (x,
3、y)均具有连续偏导数，则对复合函数z=fx,u (x, y)，有,例 3,解,于是,因为,所以,式中的 f i 表示 z 对第 i 个中间变量的偏导数 (i = 1 , 2 , 3)，,有了这种记法， 就不一定要明显地写出中间变量 u， v， w .,类似地，,可求得,例 4,设,解,在这个函数的表达式中，,乘法中有复合函数，,所以先用乘法求导公式.,2、多元复合函数的全微分,设函数,的全微分为,可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.,解,所以,5.2.4.隐函数微分法,一般地说，能用y=f (x), z=f (x
4、, y)等已将因变量解出的函数，称之为显函数；如果由方程形式：F(x, y)=0, F(x, y, z)=0, 能确定出函数y=f (x), z=f (x, y)，这种未解出因变量，只是由方程形式确定的函数称为隐函数，对于隐函数的求导或求偏导，有下面的：,例,设,求,解,则,由公式得,例 设函数z=f (x, y)由方程sinz=xyz确定， 求,解法1,则,故,设F(x, y, z)=sinzxyz,解法2,故,同理可得,方程sinz=xyz两边分别对x求偏导，得,解 : 欲求 ，应先求出 , 再求 ，,故,所以,所以，设F=,最后以x=1, y=2, z=1代入即可.,由z=f (x, y
5、)是由方程确定的隐函数，,故,例,设,其中 a , b , c 为常数，,函数 可微,证,两边对 x 求导,解得,证明,同理,a + b 于是有,即为所证.,*隐函数的情况是多种多样的，例如求由方程组确定的一元或多元隐函数的导数或偏导数，基本思想和方法也完全类似,在满足一定条件下，确定了隐函数,求,利用复合函数求导法则，在方程F(x, y, u,v)=0及G(x, y, u, v)=0两端同时对x求偏导数，但要注意到u, v是自变量x, y的函数，我们得到,例如，方程组,将 视为未知量，用消元法解上面的线性方程 组，即可求得,同理可求得,解法1 方程组两端分别对x求偏导数,用消元法解此方程组得,同理，方程组两端分别对y求偏导数，解相应的 未知量为 , 的线性方程组，可求得,解法2 利用一阶全微分形式不变性，方程组两端分别微分，有,以du, dv为未知量，解此方程组得,由全微分定义，可求得,