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1、一维随机变量及其分布函数 一维离散型随机变量的分布,一维随机变量,定义,设随机试验的样本空间 的每一个样本点 均有唯一的实数,与之对应，称 为 上的一维随机变量。,如：掷骰子一颗，观察其点数。,令 与之对应，则,是一维随机变量。,又如：观察一电子元件的寿命。,样本点 表示“寿命为 小时 ”,令 与之对应，则,也是一维随机变量。,一维随机变量,引入随机变量之后，事件可用“随机变量属于某个数集”去表示。,如：掷骰子一颗，观察其点数。,表示“点数为 2，3，4。”,又如：观察一电子元件的寿命。,表示“元件寿命不大于 1500 小时 ”,表示“元件寿命在 100 小时以上但不超出 1500 小时 ”,
2、随机变量的分布反映了随机事件出现的可能性的大小。,称为 随机变量的分布。,一维随机变量的分布函数,欲了解随机事件出现的概率，即要了解随机变量的分布状况。,一般来讲，要对任意的数集 都求出 是不实际的。,称为 随机变量的分布函数。,考察特殊的数集,记作,随机变量的分布函数有以下重要性质：,（单调非降）,记为,记为,是左连续的,一维随机变量的分布函数,随机变量的分布函数有以下重要性质：,一维离散型随机变量的分布,对于一维离散型随机变量，除分布函数之外，还可以把 随机变量的每一取值相应的概率罗列出来。,如果随机变量的所有取值是有限或无限可数的，则称之,为离散型随机变量。,称为随机变量 的分布密度或分
3、布律或概率分布或概率函数。,一维离散型随机变量的分布密度有以下重要性质：,或：,以 X 表示取出的小球的编号，试写出 X 的分布律。,此分布称为（离散型的）均匀分布，对应的是古典概型。,例1 设口袋里装有 个带有标号的小球，从中随机取出一球，,一维离散型随机变量的分布,例2 设口袋里装有3 个红球，2个白球，从中随机取出 4 球，,以 X 表示取出的白球数，试写出 X 的分布密度。,解：,此分布称为两点分布。,一维离散型随机变量的分布,例3 在一堆次品率为 的产品中有放回地每次抽取一件，,直到取到次品为止，求抽取的次数 X 的概率分布。,此分布称为几何分布。（与几何概率无关）,一维离散型随机变
4、量的分布,例4 某射手有 5 发子弹，他射击的命中率为 0.8 ，现他向一,目标射击，命中即止，求耗用子弹数 的概率函数。,这里：,不是几何分布,唔？,一维离散型随机变量的分布,例5 设在一次试验中事件出现的概率为,X 表示在 次贝努里试验中出现的次数，,解：,此分布称为二项分布。对应 次贝努里试验。,一维离散型随机变量的分布,求 X 的分布律。,记作,一级品数 X 的分布密度。若取出的零件中有一级品，求恰有,例6 一大批零件的一级品率是 。从中任取 4 个，求取出的,解：由于零件数目很多，故可将取 4 个零件视作 4 次贝努里试验。,即,一个一级品的概率。,故,所求概率为,例7 设随机变量
5、的分布密度如下，求,解：,例8 设有15 个工人间歇地用电，在任一时刻每个工人都以同样,的概率 0.3 需要一个单位的电力，如果工人独立工作，问,在任一时刻需要供应十个或十个单位以上电力的概率是多,少？若要做到任一时刻电力够用的概率不低于0.9999，供,解：设在任一时刻需要供应的电力为 X ，则,电系统最少供应多少个电力单位？,则任一时刻需要供应十个或十个单位以上电力的概率为,设若要做到任一时刻电力够用的概率不低于0.9999，,（查表得）,最少供应 个电力单位，则,查表得,若随机变量 X 的分布密度是：,则称 X 服从泊松分布，记作,泊松分布描述的是大量试验中稀有事件出现的次数的概率分布。
6、,其中参数 正是试验次数与事件的概率之乘积（即事件出现的 平均数）。所以它的一个重要应用是,则近似地，有,若,且 较大,（ ）， 较小,（ ）,即：,例9 一台仪器平均在1000个工作小时内发生一次故障，,试求该仪器工作100个小时而无故障的概率。,解：设 A 表示“仪器在一小时内出故障”，则,令 X 表示 “100 个小时内 A 出现的次数”，则,近似,所求概率为：,由此可假设仪器在一小时内不会出两次及以上故障。,解：由,当 时，,当 时，,当 时，,当 时，,例10 设随机变量 X 的分布律如下，求 及 X 的分布函数。,综上所述，,例10 设随机变量 X 的分布律如下，求 及 X 的分布函数。,求,解：,求：,解：,例13 设随机变量 的分布密度如下，求 及其函数,的分布密度。,解：由 的分布律列出下表,（退化分布）,再见！,