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1、6.3 多服务台指数分布排队系统 （ M/M/C排队模型）,基本的排队模型 M/M/C/N/FCFS混合制排队系统,一. M/M/C/N/FCFS多服务台混合制排队模型,1、系统意义：顾客按泊松流输入，到达率为；服务时间服从负指数分布，服务率为；有C个服务台，先到先服务，系统容量为N(NC), 顾客源无限的混合制排队系统。 顾客到达系统时，若无空闲服务台，系统中顾客数小于N，则排队等待服务；若系统中顾客数等于N，则离开系统，另求服务。,2、系统状态转移速度图和状态转移速度矩阵：,3、稳态下的状态概率方程：,由此，可得稳态概率应满足的关系：,当nc时,设 成立,令 ，称为系统负荷强度(到达速度
2、与服务能力的比值)，可得Pn 一般表达式：,当cnN时，,也可以根据“系统处于稳态时，每个状态的转入率等于转出率”求得Pn的一般表达式。,4、系统的基本数量指标：(公式组（6-16）,表示在顾客接受服务的平均时间内，按照 的速度又来到系统并加入排队的人数。,例6-4 某汽车加油站有2台油泵为汽车加油，站内可容纳4辆汽车，当站内停满车时，后来的汽车只能到别处加油。若需加油的汽车按泊松流到达，平均每小时4辆。每辆车加油所需时间服从负指数分布，平均每辆需12min，试求系统有关运行指标。 （例6-1将服务台改为2个）,该系统是M/M/2/4混合制排队系统， 其中=4(辆/h)，=5(辆/h)， ？
3、c=2，=/c=0.4 ；,根据（6-16）的一组公式，可以计算出系统的其他运行指标：,1、系统意义： 顾客按泊松流输入，到达率为； 服务时间服从负指数分布，服务率为； 有C个服务台； 先到先服务，系统无容量限制，顾客到达系统时，若无空闲服务台，则排队等待服务。,二. M/M/C/FCFS多服务台等待制排队模型,2、系统的状态转移速度图：, , 2 3 (c-1) c c c ,3、 状态转移速度矩阵：,4、 状态概率方程：,该系统是M/M/C/N系统当N时的极端情况，故可利用M/M/C/N系统的数量指标计算公式取极限N得到相应的各项数量指标。,由于系统中顾客无限制,考虑到服务与顾客到达的随机
4、性,在讨论系统达到稳态时的情况,必须要求=/c小于1。 称为系统的负荷强度,它表征了顾客的服务需求强度与系统服务能力的比值。,注 意,注意： 要求=/c小于1。,M/M/C等待制排队系统特征量计算公式,关于P0的证明,例6-4 将例6-2改为有两台加油泵的情况，则该系统转化为M/M/2等待制系统。计算有关数量指标 . 已知相关参数=4（辆/h）, =5（辆/h），则=/2=0.4 ;,P1=2P0=0.34288 P2=0.13715 P3=0.05486 P4=0.02194 ,e =4;,课堂练习6-2 试画出M/M/2/FCFS等待制系统的状态转移速度图,三、M/M/C损失制排队系统,M
5、/M/C损失制排队系统可以看作M/M/C/N/混合制排队系统中N=C时的特例。,1、系统意义： 顾客按泊松流输入，到达率为；服务时间服从负指数分布，服务率为；有C个服务台，先到先服务，顾客源无限。 顾客到达系统时，若无空闲服务台，顾客则离开系统，另求服务。,2、系统状态转移速度图和状态转移速度矩阵：, , 2 3 (c-1) c ,c+1阶矩阵,3、稳态下的状态概率方程：,稳态概率应满足的关系：,n=1，2, , c；,4、系统的基本数量指标：,例6-5 某电话总机系统有5条中继线，电话呼叫服从参数为1.5的泊松分布，通话时间为负指数分布，平均每次通话为2.5分钟。 试求：（1）系统空闲的概率
6、； （2）一条线被占用的概率； （3）顾客损失的概率；,题意分析 顾客为电话呼叫，输入为Poisson流，平均到达率=1.5次/分； 服务台为中继线，共5条，即为5个服务台，平均服务率=1/平均服务时间=1/2.5=0.4次/分； 故该系统是M/M/5损失制排队系统。 =/c=(1/c)(/)=(1/5)(1.5/0.4) =（1/5）3.75=0.75。,（1）系统空闲的概率：,（2）一条线被占用的概率：,（3）顾客损失的概率 5条线全部被占用的概率,课堂练习 6-3,某织布车间有两个布机维修组，分别负责该车间的两个织布组的布机维修工作。设每组布机平均每天有4台布机需要维修，每个维修组每天平
7、均可修复5台布机。 试比较维持现状好还是将两个维修组合并共同负责全车间的布机维修工作效率高？,维持现状： 两个单队单服务台,合并维修组： 单队两服务台系统,对于两个单队单服务台系统,=4台/天,=5台/天，于是:,P0=1-/=1-4/5=0.2；,p196,单队2个服务台的系统 变成42=8,p200,两者相比，单队2个服务台系统比2个单队单服务台系统效率明显提高，体现在平均排队长和平均等待时间大大缩短。,两个单队单服务台和单队两服务台系统的 数 量 指 标 比 较,第十五次作业 习题6：（P221）9； 补充题：,补充题：某厂医务室有2名同等医疗水平的大夫。已知患病者按泊松流来医务室求诊，平均每小时到达15人；诊病时间平均每人6min，且服从负指数分布；医务室最多能容纳6位病人，若已有6位病人，后来的病人会到别处就诊，问： （1）医务室空闲的概率； （2）在医务室逗留的病人及排队等待就诊的病人各为多少？ （3）每位病人平均在医务室等待的时间是多少？,