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1、6-5 排队模型的综合应用, 学习过程中的分析与研究 建模分析 排队系统的优化 其他类型的排队模型,问题1 我记得 M/M/1 损失制模型的数量指标计算公式是最简单的，好象总共有三个：,请帮我检查一下，这些公式对吗 ？,一、学习过程中的分析与研究,（1）上面的前两个式子相加不等于1，因此肯定有问题! 因为有：,根据什么进行检查？,（2）后两个式子不相等，所以有问题 ！因为,（3）根本的记忆办法是进行简单的 推导基本概率指标计算“三步曲”！, M/M/1客源无限的 损失制排队系统的 状态转移速度图：, 状态转移速度矩阵：,系统在平稳时的 状态概率方程 ：,打开状态概率方程，得：,注意到：,结 论
2、 在理解的基础上记忆公式，掌握最基本的公式推导方法。, 求解状态概率方程,推出基本概率指标； 数学期望的定义式； Little公式描述Ls，Lq，Ws，Wq之间关系的4个基本公式：, 经常使用的数学技巧： 数学归纳法； 级数求和 (特别是等比级数求和公式常会用到)； 量纲分析；,问题2 M/M/1等待制系统中,正在接受服务的顾客的平均数是,即/,对吗？为什么？M/M/c等待制系统呢？,（1）先研究M/M/1等待制系统 正在接受服务的顾客数是个随机变量,设为,其所有可能的取值为0和1,其数学期望就是正在接受服务的顾客的平均数,于是,E()=0p0+1(1-p0)=1-p0；,又由 p0=1-，得
3、 1-p0=/；,M/M/1无限源等待制公式,（2）M/M/c等待制系统 正在接受服务的顾客数是个随机变量,设为,其所有可能的取值为0,1,2，；,E()=0p0+1p1+ =,可以证明结果仍然为/!,结论1：当/c1时, 正在接受服务的顾客的平均数不依赖于服务台数!,结论2 正在接受服务的顾客的平均数也就是正在忙的服务台的平均数,二、建模分析,对背景资料必须进行仔细分析和认真推敲，明确两个最重要的问题： 所研究的系统可以归结成什么样的排队模型？为什么？ 要求解决的问题归结为求什么特征量？,例题分析,1. 康桥苑图书超市光顾者按Poisson流到达，平均每小时来到20人，书市只有1个收款台，收
4、款开发票时间服从负指数分布，平均每位顾客需要花费2.5分钟。试问，若想分析该图书超市的运营情况，根据给出的背景可以抽象成什么样的模型？为什么？,顾客：购书者； 服务机构：收款台； 根据常识，购书者必须付款后才能离去，所以是M/M/1等待制排队系统； =20人/小时， =(1/2.5)人/分=(60/2.5)=24人/小时；,请完整地叙述该系统的意义。,顾客按泊松流输入、平均到达率为20人/小时，服务时间服从负指数分布、平均服务率为24人/小时，1个服务台，系统容量和顾客源均为无限。当顾客来到系统时，若服务台忙，则顾客排队等待服务，排队规则为先到先服务的等待制排队系统。,2某汽车加油站有两台油泵
5、为汽车加油，加油站内最多能容纳6辆汽车。已知待加油车辆相继到达的间隔时间服从负指数分布，平均每小时到达18辆。若加油站中已经有K辆车，当K2时有K/6的待加油车辆将离去另求服务。加油时间服从负指数分布，平均每辆车需要5分钟。,现希望解决以下问题： 求加油站空闲的概率； 求两台加油泵全忙的概率； 求加油站客满的概率； 若每服务1辆车，加油站可获得10元利润，则平均每小时可获利多少？,R=10e ，其中：,每小时平均损失多少顾客数？ 平均等待加油的车辆数是多少？ 平均有多少车位被占用？ 进入加油站的车辆平均需要等多长时间才能开始加油？总共需要多少时间才能离开？,该系统的特点是什么 ？,系统所有可能
6、的状态是: 0，1，2，3，4，5，6；,这是M/M/2/6/FCFS混合制排队系统，但是k和k是变化的。 试根据排队系统的研究思路画出系统状态转移速度图：,c=2，=18辆/h；=1/（5/60）=12辆/h； /=3/2；,状态转移速度图：,根据每个状态的转入率等于转出率,可以写出稳态概率关系 ：, ,求加油站空闲的概率； =0.22433； 求两台加油泵全忙的概率 ：,求加油站客满的概率 ：,若每服务1辆车，加油站可获得10元利润，则平均每小时可获利多少？ 每小时可服务的顾客数：,则每小时可获利：,每小时平均损失的顾客数 ：,平均等待加油的车辆数：,进入加油站的车辆开始加油前平均需要等待
7、的时间：,平均被占用的车位：,总共需要花费的时间：,3、某汔修部有3个修理组对外提供修车服务，共有6个停车位，当所有车位被占满时，新到达待修车辆则离去另求服务。,已知每天来修理的车辆服从泊松分布，平均每天4辆；每个修理组修复1辆车所用时间服从负指数分布，平均每天修复两辆。当修理部待修车辆不足3辆时，空闲的修理组会协助修理，若3个组同修两辆车，则修复速度提高到每天5辆，若3个组同修一辆车，修复速度提高到每天4辆。经核算，每修复一辆车可盈利2000元。,问：（1）根据提供的背景资料，可建立何种类型的排队模型进行分析讨论？试画出状态转移速度图并写出状态转移速度矩阵。 （2）修理部每天盈利多少？ （3
8、）待修车辆从到达到修复离去需要多长时间？ （4）平均每天有多少车位被占用？ （5）平均每天得不到修理而离去车辆的概率？,(1)依题意,该系统可归结为 M/M/3/6/FCFS混合制排队系统, =4辆/天,=2辆/天； 实际服务率是变化的，有:,状态转移速度矩阵：,状态概率方程：,打开状态概率方程得如下方程组：,P1=0.2547；P2=0.2038；P3=0.1358；P4=0.0906；P5=0.0604；P6=0.0403；,（2）修理部每天的盈利 ：,盈利=2000 =2000(0P0+4P1+5P2+6P3+6P4+6P5+6P6) =8000.8,（3）待修车辆从到达到修复离去需要的
9、时间: Ws=Wq+1/ （4）平均每天被占用的车位: Ls=Wse （5）平均每天得不到修理而离去的车辆概率及车辆数为: P6=64/405P0=0.0403 P6=664/405P0=0.2418(辆),三、排队系统的优化,问题1 兴建一座港口码头，只有1个装卸船只的泊位，要求设计装卸能力（用每日装卸的船只数表示），使每天的总支出最少。已知的数据资料如下： 一个泊位每天平均耗费生产费用a=2千元；,船只到港后如不能及时装卸，每滞留1天的损失费为b=1.5千元； 预计船只的平均到港率为=3只/日； 船只到达的时间间隔和装卸时间均服从负指数分布。 题意分析：服务台就是装卸船只的泊位，到港装卸的
10、船只就是顾客。 这是个M/M/1等待制排队系统。,需要设计的装卸能力服务率； 问题的要求求最优服务率； 目标要求总支出最少； 列出总支出与的关系式：,问题2 背景同上，但要求设计装卸船只的泊位数，使每天的总费用最少。已知每个泊位每天可装卸2只船，其他已知的数据资料同上。 该系统成为M/M/C等待制排队系统； 要求对服务台进行优化设计求最佳服务台数c； 目标要求总支出费用最少。,总费用F=ac+bLs ，而Ls是c的函数，因此有： F = ac + bLs(c)=2c+1.5Ls(c),离散变量不能用求导的方法求c的最优值，可以采用试算比较的方法解决 ：,系统的状态转移速度图：, , 2 3 (c-1) c c c ,状态转移速度矩阵：,对于c=2，3，4，等，计算对应的Ls和F值,比较计算结果，服务台数量的最优设计为c=3，此时总费用支出达到最小，为8.6千元。,第十六次作业 习题6: P222 : (3) P222 : (4),