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1、向量及其线性运算,一、向量的概念 二、向量的加减法 三、向量与数的乘法,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,一、向量的概念,或,或,或,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.记作,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,空间两向量的夹角的概念：,类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,设有两个向量a,b,任取空间一点O,称为向量a与b的夹角。,向量的平行（共线）,两个非零向量如果它们的夹角为
2、0或 （方向相同或相反），都称这两个向量平行。记作 两个非零向量如果它们的夹角为 ，称这两个向量垂直. 记为,可以认为零向量与任何向量都平行。 两向量平行，又称两向量共线。,向量的共面,设有k（k2)个向量，当把它们起点放在同一点时，如果k个终点和公共起点在同一个平面上，就称这k个向量共面。,1 加法：,（平行四边形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,（平行四边形法则有时也称为三角形法则）,二、向量的加减法,向量的加法符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,2 减法,由三角形两边之和大于第三边的原理有,其中等号在a 与b同号或反号时成立,三、向量与数的乘法,数与向量的乘积符
3、合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,两个向量的平行关系,证,充分性显然；,必要性,两式相减，得,.定理是建立数轴的理论依据,给定一个点及一个单位向量，就确定了一个数轴。 设点o及单位向量i确定了数轴ox, 如图 对于轴上任一点P,对应一个向量，,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,例1 化简,解,例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.,证,结论得证.,习题7-1.2,向量的概念,向量的加减法,向量与数的乘法,（注意与标量的区别）,（平行四边形法则）,（注意数乘后的方向）,四、小结,思考题,已知平行四边形ABCD的对角线,试用 表示平行四边形四边上对应的向量.,思考题解答,练 习 题,练习题答案,