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1、要点梳理 1.两个实数比较大小的方法 （1）作差法,第七编 不等式,7.1 不等关系与不等式,基础知识 自主学习,=,(2)作商法 2.不等式的性质 单向性： (1)传递性：ab,bc _. (2)同向相加性：ab,cd _.,=,ac,a+cb+d,(3)乘法单调性： ab,c0 _; ab,cb0,cd0 _; ab0(nN+) anbn; ab0(nN+,n2) 双向性：ab _. 3.不等式的一些常用性质 (1)倒数性质 ab,ab0 a0b,acbc,acbc,acbd,ba,ab0,0b0,m0,则 真分数的性质： 假分数的性质：,基础自测 1.若x+y0，a0,则x-y的值为 （
2、 ） A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.符号不能确定 解析 方法一 因为a0,所以y0, 所以x0，所以x-y0.应选A. 方法二 a0,取a=-2得-2y0, 又x+y0,两式相加得x-y0.,A,2.设a、b为非零实数,若ab2=1,故A错； 又 故D错； 再令a=1,b=4,则ab2=16a2b=4，故B错，故选C.,C,3.若a2b2,则下列不等式成立的是 （ ） A.ab B. C.|a|b| D.以上均不对 解析 a2b2 |a|2|b|2 |a|b|.,C,4.若a、b、c为实数,则下列命题正确的是 （ ） A.若ab,则ac2bc2 B.若aabb2 C.若ab0，则 D
3、.若ab0，则 解析 对于选项A，c=0时，ac2=bc2； 取a=-2,b=-1知选项C、D错，故选B.,B,5. 的一个充分不必要条件是 （ ） A.xy B.xy0 C.xy0或xy0.,B,题型一 比较大小 【例1】比较下列各组中两个代数式的大小： （1）(x-3)2与(x-2)(x-4)； （2）当x1时，x3与x2-x+1. 作差，通过分解因式判断差的符号. 解 （1）(x-3)2-(x-2)(x-4) =x2-6x+9-(x2-6x+8)=10, (x-3)2(x-2)(x-4).,题型分类 深度剖析,思维启迪,(2)x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1 =x2(x-1)+
4、(x-1)=(x-1)(x2+1), x1,x3-(x2-x+1)0, 当x1时，x3x2-x+1. （1）作差法步骤：作差变形判 断差的符号.作商法的步骤：作商变形判断 商与1的大小. （2）两种方法的关键是变形.常用的变形技巧有因式 分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较 大小的两个代数式来达到目的.,探究提高,知能迁移1 (1)比较x6+1与x4+x2的大小,其中xR; (2)设aR,且a0,试比较a与 的大小. 解 （1）(x6+1)-(x4+x2) =x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1) =(x2-1)(x4-1)=(x2-1)(x2-1)(x2+1) =(x
5、2-1)2(x2+1). 当x=1时，x6+1=x4+x2; 当x1时，x6+1x4+x2.,（2） 当-11时, 当a-1或0a1时, 当a=1时,题型二 不等式的性质 【例2】使不等式ab成立的充要条件是 （ ） A.a2b2 B. C.lg alg b D. 可用特殊值代入验证，也可用不等式的 性质推证. 解析 方法一 取a=1,b=-2，可验证A、B、C均不正 确，故选D. 方法二 ab 2a2b 0,思维启迪,D,探究提高 （1）判断一个关于不等式的命题的真假 时,先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑 , 找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题的真假, 当然判断的同时可能还要用
6、到其他知识，比如对数函 数、指数函数的性质. (2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法, 在命题真假未定时,先用特殊值试试可以得到一些 对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题 不成立,则该命题为假命题.,(3)说明一个命题为假命题时,可以用特殊值法,但不 能用特殊值法肯定一个命题，只能利用所学知识严 密证明,在用不等式性质证明命题时,可适当使用 一些不等式性质的推广命题,本题就可以利用结论 “ab,nN+，n为奇数，则 ”.,知能迁移2 已知a、b、cR，则下列推理： a3b3,ab0 a2b2,ab0 0ab1 其中正确的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4,解析 由
7、可知c20, 即ab,正确. 由a3b3,ab0可得ab,ab0， 即ab0或bb2,ab0可得ab0或ab0时 但ab0时， 故不正确.,0logb(1+a), 故正确. 答案 C,题型三 不等式性质的应用 【例3】（12分）已知-1a+b3且2a-b4,求2a+3b的 取值范围. 思维启迪 将2a+3b用a+b和a-b表示出来，再利用不 等式的性质求解2a+3b的范围. 解 设2a+3b=m(a+b)+n(a-b), 2分 4分 5分,-1a+b3,2a-b4, 8分 10分 即 12分 由af1(x1,y1)b,cf2(x1,y1)d,求g(x1,y1) 的取值范围，可利用待定系数法解决
8、，即设g(x1,y1) =pf1(x1,y1)+qf2(x1,y1)，用恒等变形求得p,q，再利用 不等式的性质求得g(x1,y1)的范围.此外，本例也 可用线性规划的方法来求解.,探究提高,知能迁移3 已知1a+b4,-1a-b2,则4a-2b的 取值范围是_. 解析 方法一 设u=a+b,v=a-b, 4a-2b=2u+2v-u+v=u+3v. 1u4,-1v2,-33v6. 则-2u+3v10,即-24a-2b10.,方法二 令4a-2b=x(a+b)+y(a-b), 4a-2b=(x+y)a+(x-y)b. -24a-2b10. 答案 -2,10,1.用同向不等式求差的范围. 这种方法
9、在三角函数中求角的范围时经常用到. 2.放缩法：等式 不等式.如：,方法与技巧,思想方法 感悟提高,3.倒数关系在不等式中的作用. 4.作差法：判定不等关系的基本方法. ab a-b0,ab a-b0.,1.ab acbc或ab anbn对于正数a、b才成立. 4. ab,对于正数a、b才成立. 5.注意不等式性质中“”与“”区别，如： ab,bc ac,其中ac不能推出,失误与防范,一、选择题 1.下列四个数中最大的是 （ ） A.lg 2 B. C.(lg 2)2 D.lg(lg 2) 解析 因为lg 2(0,1)，所以lg(lg 2)0; 所以最大的是lg 2.,A,定时检测,2.已知实
10、数a、b、c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2, 则a、b、c的大小关系是 ( ) A.cba B.acb C.cba D.acb 解析 c-b=4-4a+a2=(2-a)20, cb,已知两式作差得2b=2+2a2,即b=1+a2, b=1+a2a,cba.,A,3.已知a,b为非零实数,且ab,则 （ ） A.a2b2 B.a2bab2 C.2a-2b0 D. 解析 取a=-4,b=2即可判断选项A、B、D错.,C,4.已知a、b满足0ba 解析 取特殊值法.,B,5.设0ba1，则下列不等式成立的是 （ ） A.abb21 B. C.2b2a2 D.a2ab1 解析 y
11、=2x是单调递增函数,且0ba1, 2b2a21,即2b2a2.,C,6.若 则下列不等式:a+b|b|; ab; 中，正确的不等式是 （ ） A. B. C. D. 解析 取a=-1,b=-2,验证排除.,C,二、填空题 7.设abc0, 则x,y,z的大小顺序是_. 解析 方法一 y2-x2=2c(a-b)0,yx. 同理，zy,zyx. 方法二 令a=3,b=2,c=1， 故zyx.,zyx,8.下列四个不等式： a0b;ba0;b0a;0ba,其中能使 成立的充分条件有_. 解析 因此能使b-a与ab异号.,9.给出下列四个命题： 若ab0,则 若ab0,则 若ab0,则 设a,b是互
12、不相等的正数，则 其中正确命题的序号是_.（把你认为正确命题 的序号都填上）,解析 作差可得 而ab0,则 此式错误.ab0，则 进而可得 所 以可得 正确. 若 错误. a-b0时此式不成立,错误. 答案 ,三、解答题 10.已知ab,ef,c0，求证：f-acb,c0,acbc. 又ef,e+acf+bc. e-bcf-ac,即f-ace-bc.,11.2008年北京成功举办了第29届奥运会，中国取得 了51金、21银、28铜的骄人成绩.下表为北京奥运会 官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某 球迷赛前准备用12 000元预订15张下表中球类比赛 的门票： 若在准备资金允许的范围内和
13、总票数不变的前提下, 该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中足球 比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且足球比赛,门票的费用不超过男篮比赛门票的费用，求可以预订 的男篮比赛门票数. 解 设足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都预订n (nN*)张，则男篮比赛门票预订（15-2n）张， 由nN*，可得n=5,15-2n=5. 可以预订男篮比赛门票5张.,12.设f(x)=ax2+bx,1f(-1)2,2f(1)4,求f(-2) 的取值范围. 解 方法一 设f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m,n为待定系数), 则4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b, f(-2)=3f(-1)+f(1). 又1f(-1)2,2f(1)4, 53f(-1)+f(1)10, 故5f(-2)10.,方法二 f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又1f(-1)2,2f(1)4, 53f(-1)+f(1)10,故5f(-2)10.,方法三 由 确定的平面区域如图. 当f(-2)=4a-2b过点 时, 取得最小值 当f(-2)=4a-2b过点B(3,1)时, 取得最大值43-21=10,5f(-2)10.,返回,为的就是免费,