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1、,*三、向量的混合积,第二节,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,数量积 向量积 *混合积,第八章,一、两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线移动,1. 定义,设向量,的夹角为 ,称,数量积,(点积) .,故,2. 性质,为两个非零向量,则有,3. 运算律,(1) 交换律,(2) 结合律,(3) 分配律,例1. 证明三角形余弦定理,证: 如图 .,则,设,4. 数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式, 得,例2. 已知三点, AMB .,解:,则,求,故,为 ) .,求单位时间内流过该平面域的流体的质量m (流体密度,例3. 设均匀流速为,的流体流过一个面积为 A
2、 的平,面域 ,与该平面域的单位垂直向量,解:,单位时间内流过的体积:,的夹角为,且,二、两向量的向量积,引例. 设O 为杠杆L 的支点 ,有一个与杠杆夹角为,由力学知识：其方向按右手规则,1. 定义,定义,向量,方向 :,(叉积),记作,且符合右手规则,模 :,向量积 ,引例中的力矩,思考: 右图三角形面积,S,2. 性质,为非零向量, 则,3. 运算律,(2) 分配律,(3) 结合律,4. 向量积的坐标表示式,设,则,向量积的行列式计算法,( 行列式计算见上册 P355P358 ),例4. 已知三点,角形 ABC 的面积 .,解: 如图所示,求三,*三、向量的混合积,1. 定义,已知三向量,称数量,混合积 .,几何意义,为棱作平行六面体,底面积,高,故平行六面体体积为,则其,2. 混合积的坐标表示,设,3. 性质,(1) 三个非零向量,共面的充要条件是,(2) 轮换对称性 :,(可用三阶行列式推出),内容小结,设,1. 向量运算,加减:,数乘:,点积:,叉积:,混合积:,2. 向量关系:,思考与练习,1. 设,计算,并求,夹角 的正弦与余弦 .,答案:,2. 用向量方法证明正弦定理:,证: 由三角形面积公式,所以,因,练习题,1. 已知向量,的夹角,且,解：,在顶点为,三角形中,求 AC 边上的高 BD .,解：,三角形 ABC 的面积为,2.,而,故有,