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1、,第四节,一、几种常见的曲面及其方程,二、二次曲面,三、曲线,曲面与曲线,第七章,由两点间距离公式,1. 空间一动点到定点的距离为定值，该动点轨迹叫球面。,特别,当M0在原点时,球面方程为,设轨迹上动点为,定值为R，,定点,表示上(下)球面 .,定点叫球心，定值叫半径。,例2. 研究方程,解: 配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程 ( A 0 ),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,一个球面, 或点, 或虚轨迹.,2、柱面.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,抛物柱面,椭圆柱面.,经过z 轴的平
2、面.,以上的柱面母线都平行于Z轴,C 叫做准线, l 叫做母线.,圆柱面,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2.,母线,一条平面曲线,3、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴 .,例如 :,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程
3、如何？,例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为,的圆锥面方程.,解: 在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,二、二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍 .,研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0 ),1.
4、 椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,与,的交线为椭圆：,(4) 当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3) 截痕:,为正数),2. 抛物面,(1) 椭圆抛物面,( p , q 同号),(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）,特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.,( p , q 同号),3. 双曲面,(1)单叶双曲面,椭圆.,时, 截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,平面,上的截痕情况:,双曲线:,虚轴平行于x 轴）,时, 截痕为,时, 截痕为,(实轴平行于z 轴;,相交直线:,双曲线:,(2) 双叶双曲面,双曲线,
5、椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,图形,4. 椭圆锥面,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .,内容小结,1. 空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如, 曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .,2. 二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,设有两块曲面S1, S2, 它们的方程依次为:,S1: F (x, y, z) = 0 S2: G (x, y, z) = 0,S1 , S2的交
6、线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此,即为交线C的方程, 称为空间曲线C的一般方程.,(2),二、空间曲线及其方程,1. 空间曲线的一般方程,2. 空间曲线的参数方程,将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个参数t的函数.,x = x (t) y = y (t) (3) z = z (t),当给定 t = t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 随着 t的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.,例6: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行
7、于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数), 那末点M 构成的图形叫做螺旋线, 试建立其参数方程.,解: 取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处, 经过时间t, 由A运动到M(x, y, z), M在xOy面上的投影为M (x, y, 0).,(1) 动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM = t. 从而,x = |OM | cosAOM = acos t,y = |OM | sinAOM = asin t,(2) 动点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而,z = MM = vt,得螺旋线的参数方程,x = acos t y
8、= asin t z = vt,注: 还可以用其它变量作参数.,例如: 令 = t. 为参数; 螺旋线的参数方程为:,x = acos y = asin z = b,当从 0变到 0 + 是, z由b 0变到 b 0+ b ,即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比.,特别, 当 = 2 时, M点上升高度h = 2 b,在工程上称 h = 2 b为螺距.,3. 空间曲线在坐标面上投影,设空间曲线C的一般方程,方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面, 曲线 C 一定在柱面上.,注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.,例7: 已知两个球面的方程分别为: x2 + y2 + z2 = 1 和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.,解: 联立两个方程消去 z ,得,两球面的交线C 在 x O y 面上的投影曲线方程为,设一个立体由上半球面 和锥面,所围成, 求它在xoy面上的投影.,解: 半球面与锥面的交线为,由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1,于是交线C 在xoy面上的投影曲线为,x2 + y2 = 1 z = 0,这是xoy面上的一个圆.,所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 1,例8:,