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1、圆的方程 (一),问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？,平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.,问题2：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？,圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？,（1）建立适当的坐标系，用有序实数对 (x,y)表 示曲线上任意一点M的坐标；,（2）写出适合条件 p(M)；,（3）用坐标翻译条件p(M)，列出方程f(x,y)=0；,（4）化简方程f(x,y)=0；,（5）证明化简后的方程为所求曲
2、线的方程,其中步骤(1)(3)(4)必不可少,用求曲线方程的一般方法来建立圆的标准方程：,解：设M(x,y)是圆上任意一点，,据圆的定义有 |MC|=r,C,由距离公式，得,两边平方，得,说明：,1.特点：明确给出了圆心和 半径；,2.确定圆的方程必须具备三个 独立的条件。,练习 1.写出下列各圆的方程： （1）圆心在圆点，半径是3；,（3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3),（2）圆心在点C(3,4)，半径是 ；,练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径,（1）,（2）,（3）,（-1，2） 3,例1.求以C(1,3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。,解：因圆C和直
3、线3x-4y-7=0相切，,所以圆心到直线的距离等于半径r，,因此，所求的圆的方程是,练习3.已知一个圆的圆心在原点，并与直线 4x+3y-70=0相切，求圆的方程。,例2.已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0) 的切线的方程。,分析(一)：设切线斜率为k，OM斜率为k1，则：,所以切线方程为： x0x+y0y=r2,分析(二)：设P为切线上任意一点，则OMMP，所以：,(x0，y0)(x-x0，y-y0)=0,所以切线方程为：x0x+y0y=r2.,当M在坐标轴上时，上面方程仍适用。,P(x , y ),由勾股定理： |OM|2+|MP|2=|OP|2,分析(三)：,
4、在直角三角形OMP中,x0x +y0 y = r2,例2.已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0) 的切线的方程。,总结：过一点求圆的切线的方程,1、求经过圆上一点M（x0,y0）的切线的方程 ：,（1）圆C的方程为：,（2）圆C的方程为：,2、求经过圆外一点M（x0,y0）的切线的方程 。,常用求法简介：,练习4.写出过圆x2+y2=10上一点M 的切线的方程,练习5.已知圆的方程是x2+y2=1，求 （1）斜率等于1的切线的方程； （2）在y轴上截距是 的切线的方程。,例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用
5、一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m),解：如图建立坐标系，设圆的方程是x2+(y-b)2=r2 (r0)。,答：支柱A2P2的长度约为3.86m。,小结 (1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为： x2 + y2 = r2 (2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。,圆的方程 (二),2.以点(3,1)和(1,5)为直径端点的圆
6、的方程是_,(x1)2+(y+2)2=13,x2+y22x+4y8=0,标准方程,一般方程,1.什么是圆的标准方程？其圆心和半径分别是什么？,怎样化标准方程为一般方程？,(xa)2+(yb)2=r2,把 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方法，得,3)当D2+E24F0时，不表示任何曲线,2)当D2+E24F=0时，仅表示一个点,圆的一般方程：当D2+E2-4F0时，方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程,怎样化一般方程为标准方程？,结论：(1) x2, y2系数相同，且不等于零； (2) 没有xy这样的二次项； (3) D2+E24F0。,圆的一般方程的特点:,可得出什么结论？
7、,注意：1.条件(1)、(2)是二元二次方程表示圆的 必要条件，但不是充分条件； 2.条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方 程表示圆的充要条件,圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E24F0),与圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样,方程x2 +y2+Dx+Ey+F=0 也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件,才能确定一个圆.,例1.求下列圆的半径和圆心坐标： (1)x2+y2-8x+6y=0， (2)x2+y2+2by=0,(1)圆心为(4，-3)，半径为5； (2)圆心为(0，-b)，半径为|b|(半径不为b ).,练习1.下列方程各表示什
8、么图形 (1)x2+y2=0 (2)x2+y22x+4y6=0 (3)x2+y2+2axb2=0,点(0,0),以(1,-2)为圆心, 为半径的圆.,圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E24F0),例2. 求过三点O(0,0)，M1(1,1), M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标,解：设所求的圆的方程为 x2y2十DxEyF0 因为O、M1、M2在圆上,解得F0，D8，E6,圆的方程为x2+y28x+6y0，圆心 (4，3) ，,例2小结： 1用待定系数法求圆的方程的步骤：,(1) 设所求圆的方程为标准式或一般式；,(2)列出关于a、b、r或D、E、F的方
9、程组；,(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入 所设方程，就得要求的方程,2关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程,一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、 半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往 设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都 无直接关系，往往设圆的一般方程,解：设点M(x,y)是曲线上的任意一点，所以,由两点间的距离公式，得,x2+y2+2x30 这就是所求的曲线方程 配方，得(x+1)2+y24 所以曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆,x,y,M,A,O,1.对于圆的方程(xa)2+(yb)2=r2和x2+y2+Dx+Ey+F=0，针对圆
10、的不同位置，请把相应的标准方程和一般方程填入下表：,x2+y2=r2,x2+y2+F=0,(x-a)2+(y-b)2=a2+b2,x2+y2+Dx+Ey=0,(x-a)2+y2=r2,x2+y2+Dx+F=0,x2+(y-b)2=r2,x2+y2+Ey+F=0,(x-a)2+y2=a2,x2+y2+Dx=0,x2+(y-b)2=b2,x2+y2+Ey=0,小结: 1圆的一般方程的定义及特点；,2用配方法求出圆的圆心坐标和半径；,3用待定系数法，导出圆的方程,圆的方程 (三),1.圆的标准方程是_,它表示的 是,(x-a)2+(y-b)2=r2,_的圆。,以C(a，b)为圆心,r为半径,2.圆的
11、一般方程是_,_,它表示的是_,以C( )为,x2+y2+Dx+Ey+F=0，(其中,3.当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示,一个点( ),_;当D2+E2-4F0时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0_。,不表示任何图形,D2+E2-4F0),_的圆。,圆心,以 为半径,D,(x-3)2+(y-2)2=16,如图,设O的圆心在原点,半径是r,与x轴正 半轴的交点为P0,圆上任取一点P,若OP0按逆时 针方向旋转到OP位置所形成的角P0OP=, 求P点的坐标。,解:点P在P0OP的终边上,根据三角函数的定义得,如图,设O的圆心在原点,半径是r,与x轴正 半轴的交
12、点为P0,圆上任取一点P,若OP0按逆时 针方向旋转到OP位置所形成的角P0OP=, 求P点的坐标。,P0,O的参数方程为,O1的参数方程是,求圆心为O1(a,b),半径为r 的圆的参数方程。,则平移公式为,将式代入式得,圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为,1.圆的参数方程有什么特点？,(2)圆心为(-2,-3),半径为1: _.,(x-1)2+(y+1)2=25,3.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,则它的 参数方程为_.,定义:一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数，即,并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点 M（x,y)都在
13、这条曲线上，那么方程组就叫做这条 曲线的参数方程,联系x,y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数.,（参数方程中的参数可以是有物理、几何意义 的变数，也可以是没有明显意义的变数。）,解:设M的坐标为(x,y),可设点P坐标为(4cos,4sin),点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。,由中点公式得:点M的轨迹方程为,例1. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?,解:设M的坐标为(x,y),点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。,由中点坐标公式得: 点P的坐标为(2x-12,
14、2y),(2x-12)2+(2y)2=16,即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4,点P在圆x2+y2=16上,例1. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?,解:(1)圆x2+y2+2x-2 y=0的参数方程为,x+y= -1+2(sin+cos),= -1+2 sin(+ ),(x+y)min= -1-2, 当sin(+ )=-1时, sin(+ ) -1,1,例2. 已知点P(x,y)是圆x2+y2+2x-2 y=0上的一个动点求:(1)x+y的最小值; (2) x2+y2的最大值。, 当sin( )=1时, sin( ) -1,1,(2),例2. 已知点P(x,y)是圆x2+y2+2x-2 y=0上的一个动点求:(1)x+y的最小值; (2) x2+y2的最大值。,