7线性空间与线性变换.ppt

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1、线性空间和线性变换是线性代数的中心内容之一，它广泛应用于自然科学和工程技术各个领域. 在第四章中, 我们已经介绍了以Rn中向量为元素的向量空间, 这一章中我们要把这些概念推广, 使向量和向量空间的概念更具一般性.,第七章 线性空间与线性变换,1 线性空间的概念与性质,一. 线性空间的定义,定义7.1 设V是一个非空集合, R是实数域, 如果在V上定义了加法和与R中数的乘法两种运算, 即, V, k R, 都有=+, =kV与之对应, 且满足,(1) +=+ (加法交换律);,(2) (+)+=+(+) (加法结合律);,(3) V中有零元素0, 使V有 +0= ;,(4) V, -V, 使 +

2、(-)=0, 称-为的负元素;,(8) k(+)=k+k , , V, kR;,(7) (k+l)=k+l , V, k, lR;,(6) (kl)=k(l ) , V, k, lR;,(5) 1= , V, 1R;,则称V是(实数域上的)线性空间(或向量空间), V中的元素(不论其本来的性质如何)称为(实)向量.,在第四章中, 我们介绍了向量空间Rn, 以及Rn的子空间V. 容易验证, 当集合V对向量的加法和数乘两种运算封闭时, V中的运算就满足上述八条规律. 显然, 那里的向量空间只是现在定义的的特殊情形. 比较起来, 现在的定义有了很大的推广. 向量空间中的向量是更广义的向量, 不一定是

3、n元有序数组. 向量空间中加法和数乘两种运算只要求满足八条运算规律, 也不一定是有序数组的加法和数乘运算.,下面举一些线性空间的例子.,例7.1 验证所有mn实矩阵集合Rmn对矩阵的加法和数乘运算是一个线性空间.,证明 容易验证Rmn对这两种运算是封闭的，,而且矩阵的加法和数乘运算满足线性空间定义中八条规律, 所以Rmn是一个线性空间.,特别地，取n=1, 说明Rm是一个线性空间.,如果记V是所有n阶奇异矩阵集合, 虽然V中矩阵的加法和数乘运算仍满足上述八条规律, 但V不是线性空间, 因为V对加法运算不封闭.,例7.2 记Rxn为所有次数小于n的实多项式集合, 即,证明Rxn对多项式的加法和数

4、乘运算是一个线性空间.,证明 容易验证Rxn对这两种运算是封闭的，,而且多项式的加法和数乘运算满足线性空间定义中八条规律, 所以Rxn是一个线性空间.,类似地可以验证所有实多项式集合Rx, 对多项式的加法和数乘运算也是一个线性空间.,但是，所有n次实多项式的集合，即,对多项式的加法和数乘运算不是线性空间. 因为不满足线性空间定义中规律(3), 即集合中没有零元素.,类似地, 容易验证区间a, b上所有连续函数的集合Ca, b对函数的加法和数乘运算是一个线性空间.,实数域R对于数的加法和乘法运算是一个线性空间.,例7.3 用R+表示所有正实数集合, R为实数域, 对任意a, bR+, kR, 定

5、义a与b的和为ababR+, 定义数k与a的积为 kaak R+, 验证R+对所定义的加法和数乘两种运算构成线性空间.,解 由于abab , 所以加法满足交换律和结合律.,以上各例中, 虽然向量的含义各不相同(可能是实矩阵,也可能是实多项式或连续函数, 还可能是实数), 向量的加法和数乘运算也是不同的. 但对各自的向量, 加法和数乘两种运算都满足八条运算规律, 所以, 都是线性空间.,为了对线性空间中向量的运算的理解更具一般性, 再看一个比较抽象的例子.,R+中有零元素1, 使得对任意aR+有a1a1a.,对任意aR+, R+中有负元素a1, 使得有aa11.,对任意a, bR+, k, lR

6、, 满足：,k(ab)=(ab)k=akbkkakb;,(k+l)a=ak+lakalkala;,(kl)a=akl(al)kk(la);,1a=a1a, aR+, 1R.,所以, R+对所定义的加法和数乘运算构成线性空间.,如果将满足八条运算规律的加法和数乘运算称为线性运算, 那么, 线性空间就是定义了线性运算的集合.,又如, Rn对通常意义下向量的加法和数乘运算是一个线性空间.,但如果取Rn中向量通常的加法, 对R中任意数k与Rn中任意向量, 定义数乘运算k =0. 容易验证, Rn对这两种运算是封闭的, 但是不满足线性空间定义中运算规律(5): (1 = )，所以Rn对这两种运算不是线性

7、空间.,二、线性空间的基本性质,性质7.1 向量空间的零向量是唯一的.,01=01+02=02,性质7. 2 向量空间中每个向量的负向量是唯一的.,-1=(-1)+0=(-1)+(+(-2),=(-1)+)+(-2)=0+(-2)=-2,性质7.3 0=0, (-1)=-, k0=0, V, kK,0+=0+1=(0+1)=, 得 0=0 .,+(-1) =(1-1)=0, 得 (-1)=- .,k0=k(-)=k -k=(k-k) =0 =0,性质7.4 若k=0, 则 k=0或=0.,=1=(1/kk)=1/k(k)=1/k0=0,三. 子空间,定义7.2 设U是线性空间V的一个非空子集.

8、 如果U对V的加法和乘数两种运算也构成线性空间, 则称U是V的子空间.,按定义可见, 集合0是V的子空间, 称之为零子空间, V也是V的子空间. 这两个子空间称为V的平凡子空间, 其它的称为非平凡子空间.,定理7.1 设U是线性空间V的一个非空子集. 则U是V的子空间的充分必要条件是U对V的加法和乘数两种运算是封闭的. 即, U, kR, 都有+U, kU,所有n阶对角矩阵集合、所有n阶实对称矩阵集合、所有n阶反对称矩阵集合、所有n阶上三角矩阵集合、所有n阶下三角矩阵集合等都是Rnn的子空间.,例如,nm时, Kxn是Kxm的子空间.,Kxn是Kx的子空间，C(1)a, b是Ca, b的子空间

9、.,虽然所有n次多项式集合Pn是Rx的子集合, 但是Pn不是Rx的子空间.,但是, 所有n阶可逆矩阵集合、所有n阶奇异矩阵集合、所有n阶正交矩阵集合等都不是Rnn的子空间.,在第三章介绍了向量空间中向量的线性表示、线性组合、向量组的线性相关性, 这些概念可以完全类似地推广到一般线性空间中的向量和向量组上去. 我们在线性空间的讨论中将直接引用这些概念和性质.,例如, 设1, 2,r是线性空间V中的一组向量, 也称为一个向量组, 它们的所有线性组合记为L(1,2,r), 即,L(1, 2,r)=k11+k22+krr|k1,k2,krR,则L(1,2,r)是V的子空间. 称为由1, 2,r生成的子

10、空间.,又由于只有当k1,k2,k3全为零时才有k1+k2x+k3x2=0成立, 所以称1, x, x2是线性空间Rx3中的线性无关向量组.,2 维数、基与坐标,定义7.3 在线性空间V中, 如果有n个向量1, 2,n线性无关, 而且V中任意向量都可由它们线性表示, 则称 1, 2,n为V的一个基, n称为V的维数, V称为n维线性空间,记作Vn.,仅含零向量的线性空间(没有基)维数是零, 如果V中有任意多个线性无关的向量, 称其为无限维线性空间, 如Kx, Ca, b等. 在线性代数中, 只讨论有限维线性空间.,对于n维线性空间Vn, 若1, 2,n是Vn的一个基, 则 Vn可以表示为：,V

11、n=k11+k22+knn|k1,k2,knR,即Vn是由基生成的线性空间.,例7.4 求线性空间Rx3的一个基和维数.,Rxn是n维线性空间, 1, x, x2,xn-1 是它的一组基.,解 由于1, x, x2线性无关, 且Rx3中任意向量都能由它们线性表示.,例7.5 求线性空间R23的一个基和维数.,解 容易验证, 向量组,所以, 1, x, x2就是Rx3的一个基, Rx3的维数是3.,是R23的一个基, R23的维数是6.,一般的，Rmn是mn维线性空间.,例7.6 验证集合V= 是R22的子空间, 并求V一个基和维数.,解 显然VR22，且,都有,所以, V对线性运算封闭, V是

12、R22的子空间.,容易验证 是V的一个基，V是3维线性空间.,定理7.2 设V是n维线性空间, 如果V中向量组1, 2, m线性无关, 则在V中必有nm个向量m+1, m+2,n, 使得1, 2, m, m+1, m+2,n是V的一组基.,容易知道，n维线性空间中的任意n个线性无关的向量都是它的一个基.,定理表明, 含有非零向量的有限维线性空间一定存在基.,推论 如果U是V的子空间, 则U的维数不大于V的维数,而且当U的维数等于V的维数时一定有U=V.,如果已知线性空间Vn的一个基1, 2, n, 则对V中任意向量，都有唯一一个有序数组(k1, k2,kn)T, 使得= k11+k22+knn

13、, 反之, 对任意一个有序数组(k1, k2, kn)T, 都有唯一的向量 =k11+k22+knnV.,定义7.4 设1, 2, n是线性空间Vn的一组基, 如果Vn可以表示为:,于是, 线性空间中的向量与有序数组(k1, k2,kn)T之间是一一对应的, 因此, 可以用有序数组来表示线性空间中的向量. 下面给出坐标的概念.,=x11+x22+xnn,则称(x1, x2,xn)T为向量在基1, 2, n下的坐标. 可记为=(x1, x2,xn)T.,由于线性空间Vn的基是不唯一的. 因此, 对于线性空间Vn中的向量, 在不同的基下其坐标一般是不同的, 即的坐标是相对于Vn的基而言的.,例如,

14、 1, x, x2是线性空间Rx3的一个基, Rx3中任意向量p(x)=a0+a1x+a2x2 在这个基下的坐标是(a0, a1, a2)T, 可记为p(x)=(a0, a1, a2)T.,又由于, 1, 1+x, 1+x+x2也是线性空间Rx3的一个基, 由于,p(x)=a0+a1x+a2x2=(a0-a1)+(a1-a2)(1+x)+a2(1+x+x2),所以, 向量p(x)在基1, 1+x, 1+x+x2下的坐标是(a0-a1, a1-a2, a2)T, 此时可记为p(x)=(a0-a1, a1-a2, a2)T.,在线性空间Vn中, 引入向量的坐标概念后, 就可以把Vn中抽象的向量与具

15、体的有序数组的向量(x1, x2, xn)T联系起来了, 并且可以把Vn中抽象的线性运算与Rn中向量的线性运算联系起来.,则有,设=x11+x22+xnn, =y11+y22+ynnVn,+=(x1+y1)1+(x2+y2)2+(xn+yn) n,k=(kx1)1+(kx2)2+(kxn) n,即, +的坐标为: (x1, x2, xn)T+(y1, y2, , yn)T,k的坐标为: k(x1, x2, xn)T.,故, Vn中向量与Rn中向量一一对应, 并保持线性运算关系.,由定义容易知道线性空间的同构具有反身性、对称性和传递性.,定义7.5 设U和V是两个线性空间, 如果在它们的元素之间

16、存在一一对应关系, 且这种对应关系保持元素之间线性运算的对应, 则称线性空间U与V同构.,由于任意n维线性空间Vn都与Rn同构, 所以维数相等的线性空间都是同构的. 于是, 有限维线性空间同构当且仅当维数相等, 也就是说线性空间的结构完全被空间的维数所决定.,Rn中只涉及线性运算的性质都适用于Vn. 但Rn中超出线性运算的性质, 在Vn中不一定具备. 例如Rn中的内积、长度、夹角等概念在Vn中不一定有意义.,二. 基变换与坐标变换,线性空间如果有基, 显然基不唯一. 那么一个向量在不同基下就有不同的坐标, 下面就来讨论它们之间的关系.,设1, 2,n和1, 2, n是线性空间VK的两组基, 则

17、, 这两个向量组等价. 如果,则合起来就有:,简记为,定义7.6 矩阵C称为由基1, 2,n到基1, 2, n的过渡矩阵. 过渡矩阵是可逆的.,定理7.3 设1, 2, n和1, 2, n是线性空间VK的两组基. 如果向量在这两组基下的坐标分别为x=(x1, x2, xn)T, y=(y1, y2, yn)T, 则x=Cy. 其中C是过渡矩阵.,证明 由于,由于向量在一组基下的坐标是唯一的, 所以x=Cy.,例3 求向量空间Rx3中由基1=1, 2=1+x, 3=1+2xx2到基 1=1x, 2=23x, 3=1+x2x2的过渡矩阵, 并求向量f5+3xx2在基1, 2, 3下的坐标.,解 由

18、于,所以,于是, 由1, 2, 3到 1, 2, 3的过渡矩阵为,又由于,于是, 向量 f 在基1, 2, 3下的坐标为(3, 1, 1)T.,也就是, f5+3xx2=3+(1+x)+(1+2xx2).,3 线 性 变 换,线性变换是线性空间上的重要运算, 本节介绍线性变换的概念, 并讨论线性变换与矩阵之间的关系.,一. 定义和例子,定义7.7 设T是线性空间V到V的一个映射, 且满足, V, kR都有,则称T为V的一个线性变换.,T (+)=T ()+T (),T(k)=kT(),例如,ARnn, 定义T(A)=AT, 则T为Rnn的一个线性变换.,取0VK, VK, 定义T()=0, 则

19、T为VK的一个线性变换, 称为零变换.,(2) T()=T();,线性变换TA具有下列简单性质:,(1) T(0)=0;,取ARnn, Rn, 定义T()=A, 则T为Rn的一个线性变换.,VK, 定义T()=, 则T为VK的一个线性变换, 称为恒等变换或单位变换.,(3) T(x11+x22+xmm),=x1T(1)+x2T(2)+xmT(m),二. 线性变换的矩阵,设TA为线性空间V的一个线性变换, 1, 2, n是V的一组基, V, 如果=x11+x22+xnn, 则,即, T()是由T(1), T(2), T(n)唯一确定的.,由于T(1), T(2), T(n)V, 故可由1, 2,

20、 n线性表示, 记,T()=x1T(1)+x2T(2)+xnT(n),T(1)=a111+a212+an1n,T(2)=a121+a222+an2n,T(n)=a1n1+a2n2+annn,也就是,其中,T(1, 2, n)=(1, 2, n)A,矩阵A的第j列为向量T(j)在基1, 2,n下的坐标.,矩阵A称为线性变换T在基1, 2,n下的矩阵.,例如,线性空间Kxn中, 求微商的变换D在基1, x, x2, xn-1下的矩阵为:,零变换在任何基下的矩阵都是零矩阵.,单位变换在任何基下的矩阵都是单位矩阵.,线性空间 Kxn中, 求微商的变换D在基1, x, x2/2, x3/3, ,xn2/

21、(n2), xn1/(n1)下的矩阵为:,AR22, 定义T(A)=AT, 则T在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为:,定理7.4 设线性变换T在基1, 2,n下的矩阵是A, 向量在基1,2,n下的坐标为x=(x1, x2, xn)T,则T()在这组基下的坐标是Ax.,证明 因为=x11+x22+xnn, 所以,=(1, 2, n)Ax,T()=x1T(1)+x2T(2)+xnT(n),=(T(1), T(2), T(n)x,所以, T()在基1,2,n下的坐标是Ax.,定理7.5 设T是线性空间V的线性变换, 如果T在两组基1, 2,n和1, 2,n下的矩阵分别为A和B, 且由

22、基1, 2,n到基1, 2, n的过渡矩阵为C, 则B=C-1AC.,证明 由于 T(1, 2, n)=(1, 2, n)A,(1, 2, n)=(1, 2, n)C,于是,(1, 2, n)B=T(1, 2, n)=T(1, 2, n)C,= T(1, 2, n)C=(1, 2, n)AC,=(1, 2, n)C-1AC,由于线性变换在一个基下的矩阵是唯一的, 故B=C-1AC.,例4 设线性空间R3的线性变换T在基1, 2, 3下的矩阵为,解 由于(1, 2, 3)=(1, -31-22+23, 1+22+23),求T在基1=1, 2=-31-22+23, 3=1+22+23下的矩阵.,所

23、以，由基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵为：,所以, T在基1, 2, 3下的矩阵为:,B=C-1AC,4 欧几里得空间,欧几里得空间就是在实线性空间上定义了数量积.,一. 定义和例子,定义7.8 设V是实数域R上的一个线性空间, 在V上定义一个二元实函数, , 满足: , , V, kR, 有,则称二元实函数, 是V上的内积, 此时的线性空间V称为Euclid(欧几里得)空间.,(1) 对称性: , =, ,(2) 线性性: +, =, +, ,k, =k, ,(3) 正定性: , 0, 且仅当=0时, , =0.,例如:,在Rn中, =(a1, a2,an)T, =(b1, b2

24、,bn)TRn, 定义 : , =a1b1+2a2b2+nanbn, 则Rn也成为Euclid空间,但它是与上面不同的Euclid空间.,在Rxn中, f (x) , g(x) Rxn, 定义内积为:,在Rn中, =(a1, a2,an)T, =(b1, b2,bn)TRn, 定义 : , =a1b1+a2b2+anbn, 则Rn成为Euclid空间.,则Rxn也成为Euclid空间.,利用内积的概念, 可以定义Euclid空间中向量的长度, 向量的夹角等概念.,向量的长度具体下列性质:,定义7.9 设V是Euclid空间, V, 非负实数, 1/2称为向量的长度(或范数, 或模), 记为|(

25、或).,还有下面的Cauchy-Schwarz不等式:,(1) 非负性: |0, 且仅当=0时, |=0 ;,(2) 齐次性: |k|=|k|;,(3) 三角不等式: |+|+|.,|, |.,若|=1, 称为单位向量. 若0, 则(1/|)是单位向量.,定义7.10 在Euclid空间中, 两个非零向量, 的夹角记为, 规定为:,定义7.12 在Euclid空间中, 一组两两正交的非零向量称为正交向量组, 由单位向量构成的正交向量组称为规范正交向量组.,可见, =/2当且仅当, =0.,定义7.11 如果, =0, 则称与正交.,可见, 1, 2, n为规范正交组i, j=ij .,定理7.

26、6 正交向量组必线性无关 .,在线性空间R3中, 取标准内积, =x1y1+x2y2+x3y3, 使R3成为一个 Euclid空间.,解之得一个解为, =(2, 1, 1)T, 将单位化得:,解 先求与1, 2都正交的向量, 记=(x1, x2, x3)T, 则,1, = x1+x2+x3=0, 2, =x2x3=0,例5 在Euclid空间R3中, 求一个单位向量, 使其与两个向量1=(1, 1, 1)T, 2=(0, 1, 1)T 都正交.,向量就是与两个向量1, 2都正交的单位向量.,二. 规范正交基,定理7.7 在Euclid空间中, 如果向量组1, 2, m线性无关, 则有规范正交向

27、量组1, 2, m与之等价 .,证明 先正交化, 取,1 =1,再将1, 2, m单位化, 取,则1, 2, m就是所求规范正交向量组.,上述由线性无关向量组1, 2, m,得到正交向量组1, 2, m的方法称为Schimidt(斯密特)正交化过程.,定义7.13 在n维Euclid空间V中, 含有n个向量的正交向量组称为V的正交基. 由单位向量构成的正交基称为规范正交基.,例6 在线性空间Rx3中, 定义内积,试求Rx3的一组规范正交基.,解 取Rx3的一组基, 1=1, 2=x, 3=x2, 将其正交化得:,1 =1=1,1, 2,3就是Rx3的一组规范正交基.,再将1, 2, 3单位化, 取,例7 求L(1, 2, 3, 4)的一组规范正交基. 其中,解 由于,可见, 1, 2, 4是L(1, 2, 3, 4)的一组基, 正交化,1 =1,再单位化得L(1, 2, 3, 4)的一组规范正交基为:,填空题4 已知线性变换f(P)=P, 其中P为多项式, P为P关于x的导数, 那么该变换在基3, x+2, x2+2x+1下的矩阵为:,5,10,23,