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1、第三节 向量值函数在定向曲线上的积分,(第二类曲线积分),二、问题的提出,四、第二类曲线积分的计算,三、第二类曲线积分的概念,一、定向曲线及其切向量,一、定向曲线及其切向量,1、 带有确定走向的曲线称为定向曲线,用 表示起点为 A , 终点为 B 的定向曲线(弧).,2、定向光滑曲线上各点处的切向量的方向总是与曲线的走向相一致 .,一、 对坐标的曲线积分的概念与性质,1. 引例: 变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移,“(分割)大化小”,“(近似)常代变”,“(求和)近似和”,“取极限”,变力沿直线所作的功,解决办法:,
2、动过程中变力所作的功W.,1) “(分割)大化小”.,2) “(近似)常代变”,把L分成 n 个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,则,用有向线段,3) “(求和)近似和”,4) “取极限”,(其中 为 n 个小弧段的 最大长度),2. 定义.,设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑,弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在定向曲线弧 L 上,对坐标的曲线积分,则称此极限为向量值函数,或第二类曲线积分.,在L 上定义了一个向量函数,极限,称为对 坐标x 的曲线积分;,称为对坐标 y 的曲线积分.,若记, 对坐标的曲线积分也可写作,二、问题的提出,实例
3、: 变力 F 沿曲线 L 所作的功,常力所作的功,分割,三、第二类曲线积分的概念,1.定义,记为：,即：,则：,3. 第二类曲线积分存在的充分条件：,4.第二类曲线积分的性质,1) 第二类曲线积分具有线性性质,2) 对于定向积分曲线弧的可加性,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,二、第二类曲线积分的计算,定理,基本思路:,计算定积分,求曲线积分,特殊情形,例1,解一：,例1,解二：,说明：,2) 第二类曲线积分也是化为定积分进行计算，但此时定积分的上、下限要根据题目中给定的定向曲线弧的起点和终点来选定，下限不一定小于上限 .,3) 计算第二类曲线积分时，由于涉及到积分曲线的定向问题，要慎用对
4、称性. 一般地，在曲线积分化为定积分后再对定积分考虑能否用对称性简化计算 .,例2,解: (1) L的参数方程为,则,(2) L 的方程为,则,被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.,解,例2,概念与性质可以推广到空间曲线,概念与性质可以推广到空间曲线,例4,解,例5,解: 曲线 的参数方程为,例6,解: 曲线 C 的参数方程为,例7,三、两类曲线积分之间的联系：,其中,（可以推广到空间曲线上 ）,例,解,L的方程为, 原式,四、小结,1、第二类曲线积分的概念,2、第二类曲线积分的计算,3、两类曲线积分之间的联系,思考题,思考题解答,曲线方向由参数的变化方向而定.,练 习 题,练习题答案,