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1、大小 方向,模 长度,零 1个单位,0,非零向量a的单位向量为,一、向量的有关概念,相同 相反,任一向量,相等 相同,相等 相反,两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同？,提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上，甚至起点都可以相同.,二、向量的线性运算,ba,a(bc),|a|,相同,相反, a a a ab,0,1.若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子： 其中正确的有 .(填序号),解析：式的等价式是 左边 右边 不一定相等；式的等价式是 成立；式的等价式是 成立.,答案： ,2.在ABC中， 若点D满足
2、 则 .(用b，c表示),答案：,解析：如图所示，可知,3已知向量a，b，且ABa2b，BC5a6b， CD7a2b，则A、B、C、D四点中一定共线的三点 是_,解析： (5a6b)(7a2b) 2a4b2(a2b) 共线.又有公共点B， A、B、D三点共线.,答案： A、B、D,4.已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a) 共线，则 .,解析：由已知得abk(b3a)，,解得,答案：,5.已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若 + 0，则 等于 .,答案：2,解析：由已知得，,2,=2,=2.,1.向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任 意两个向量不能比较大小，只可以判
3、断它们是否相等， 但它们的模可以比较大小. 2.由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它 的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向 线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此 也可得到：任意一组平行向量都可以移到同一条直线上.,【注意】 向量与起点无关，有向线段与起点有关.,3.判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况： (1)零向量的方向及与其他向量的关系； (2)单位向量的长度及方向.,下列命题中： 有向线段就是向量，向量就是有向线段； 向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； 向量 与向量 共线，则A、B、C、D四点共线； 如果ab，bc，那么ac. 其
4、中为假命题的是_(填序号),正确理解向量的有关概念是解决本题的关键.注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.,【解析】 不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段； 不正确，若a与b中有一个为零向量时，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反； 不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； 不正确，如b0时，则a与c不一定共线.,【答案】,1.判断下列命题是否正确，不正确的说明理由. (1)若向量a与b同向，且|a|b|，则ab； (2)若向量|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|b|，且a与b的方向相同，则ab； (4)由
5、于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行； (5)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.,解：(1)不正确.因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故(1)不正确. (2)不正确.由|a|b|只能判断两向量长度相等，不能判断方向. (3)正确.|a|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件可得ab.,(4)不正确.由零向量性质可得0与任一向量平行，可知(4)不正确. (5)正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的.,向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素
6、.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”，即第二个向量的起点与第一个向量的终点重合，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”，即两个向量的起点重合，差向量由减向量的终点指向被减向量的终点；平行四边形法则的要素是“起点重合”，即两个向量的起点相同，和向量的起点也相同.,如图，ABC中， DEBC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设 用a、b表示向量,解本题除要进行向量的加、减法外，还有数乘向量运算，如 在进行计算时要充分利用DEBCADEABC，ADNABM等条件.,又AM是ABC的中线，DEBC， 且AM与DE交于点N
7、，,【解】,由ADEABC，得,(a+b).,a (ba) (ab),a+,(b-a).,2.如图所示，ABCD是一个梯形，ABCD，且AB2CD， M、N分别是DC、AB的中点，已知 b，试 用a、b分别表示,解：连接AC.,=b+ a-a=b- a,=- a+b+ a=b- a,a-b.,向量共线问题常见的有两种题型：一是根据条件证明三点共线；二是利用三点共线求参数的值.无论上述哪种题型都离不开共线向量定理.,设两个非零向量e1和e2不共线 (1)如果ABe1e2，BC3e12e2，CD8e12e2，求证：A、C、D三点共线； (2)如果ABe1e2，BC2e13e2，CD2e1ke2，且
8、A、C、D三点共线，求k的值,(1)要证A、C、D三点共线，只需证存在实数，使 即可. (2)由于A、C、D三点共线，因此存在实数， 使 ，因而可据已知条件和向量相等 条件得到关于，k的方程，从而求k.,【解】 (1)证明：ABe1e2，BC3e12e2， CD8e12e2， 又ACABBC4e1e2 (8e12e2)CD， AC与CD共线又AC与CD有公共点C， A、C、D三点共线,(2) (e1e2)(2e13e2)3e12e2， A、C、D三点共线， 共线，从而存在实数使得 即3e12e2(2e1ke2)， 由平面向量的基本定理，得 解得= ,k= .,3.已知 (，为实数)，若A、B、C三点 共线.求证：1.,证明：如图，A、B、C三点共线， 可设ABmAC， 则OBOAABOAmAC OAm(OCOA) (1m)OAmOC， 又OBOAOC， 1m，m，1.,平面向量的基本概念及线性运算是本章知识的基础，其中平面向量的线性运算是高考考查的重点，2009年山东卷第7题考查了平面向量的线性运算.,(2009山东高考)设P是ABC所在平面内的一点， ， ,则下列命题成立的是_.,PAPB0； PCPA0； PBPC0; PAPBPC0.,解析 因为 所以点P为线段AC的中点.,答案 ,本题巧妙地利用平行四边形法则得P为AC的中点，若 ，结论如何？,