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1、第五章 平面向量,向量的坐标运算,第 讲,3,（第一课时）,一、平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、 j作为基底，对任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj，则实数对(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a=(x，y).其中x、y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a=(x，y)叫做向量a的坐标表示. 相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量.,二、平面向量的坐标运算 1.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则ab=_; 2.如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=_; 3.若a=(x，y)，则a=_; 4.如果a
2、=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则ab的充要条件是_.,(x1x2，y1y2),(x2-x1，y2-y1),(x,y),x1y2-x2y1=0,三、平面向量数量积的坐标表示 1.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则ab=_; 2.若a=(x，y)，则|a|2=aa=_，|a|=_; 3.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=_； 4.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则ab_;,x1x2+y1y2,x2+y2,x1x2+y1y2=0,5.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为，则cos=_.,1.对于n个向量a1,a2,an,若存在n个不全为
3、零的实数k1,k2,，kn,使得k1a1+k2a2+knan=0成立，则称向量a1,a2,an是线性相关的.按此规定，能使向量a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)是线性相关的实数k1,k2,k3的值依次为_.(只需写出一组值即可) 解：根据线性相关的定义得k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=0，则 令k3=1,则k2=2，k1=-4， 所以k1,k2,k3的一组值为-4,2,1.,-4,2,1,2.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m)，且ab， 则2a+3b=( ) A. (-2，-4) B. (-3，-6) C. (-4，-8) D. (-5，-10)
4、 解：由ab，得m=-4， 所以2a+3b=(2，4)(-6，-12)=(-4，-8)， 故选C.,C,3.已知平面向量a=(1，-3)，b=(4，-2)，a+b与a垂直，则=( ) A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 解：由于a+b=(+4,-3-2),a=(1,-3), 且(a+b)a, 所以(+4)-3(-3-2)=0，即10+10=0, 所以=-1，故选A.,A,题型1 向量的坐标,1. 设向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，c=(-1，-2)，若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d的坐标 解：根据题意，4a+(4b-2c)+2
5、(a-c)+d=0， 即6a+4b-4c+d=0， 所以d=4c-6a-4b=4(-1，-2)-6(1，-3)- 4(-2，4)=(-2，-6).,点评：坐标向量的加减运算，按对应的坐标进行加减运算即可，涉及到已知起点和终点坐标求向量时，用终点坐标减去起点坐标即可.,点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=(4，-3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位长度).设开始时点P的坐标为(-10，10)，则5秒后点P的坐标为( ) A. (-2，4) B. (-30，25) C. (5，-10) D. (10，-5) 解：设点A(-10，10)，5秒后点P运动到B点，则 =5v
6、，所以 =5v，所以 +5v=(-10，10)+5(4，-3)=(10，-5).故选D.,D,题型2 向量的模,2. 已知向量a=(cos23，cos67)，b=(cos68，cos22)，求|a+tb|(tR)的最小值. 解：由已知得a=(cos23，sin23)，b=(sin22，cos22)，所以|a|=|b|=1，ab=sin22cos23+cos22sin23=sin45= . 所以|a+tb|2=(a+tb)2=a2+2tab+t2b2 所以当t=- 时，|a+tb|min= .,点评：坐标向量a=(x，y)的模 是一个非负数，涉及到三角函数式的运算时，注意先将三角函数式化简再求解
7、.,已知向量m=(cos，sin)和n=( -sin，cos)，2.求|m+n|的最大值. 解：m+n=(cos-sin+ ,cos+sin), 因为，2，所以 所以cos( )1，所以|m+n|max= .,已知a、b、c是同一平面内的三个向量， 其中a=(1，2). (1)若|c|= ，且ca，求c的坐标; (2)若|b|= ，且a+2b与2a-b垂直, 求a与b的夹角. 解：(1)设c=(x,y)，则|c|= 又ca，则2x=y, 所以 或 所以c=(2,4),或c=(-2,-4).,题型3 向量的平行与垂直,(2)因为a+2b与2a-b垂直, 所以(a+2b)(2a-b)=2|a|2+
8、3ab-2|b|2=0. 因为|b|= ，|a|= ，所以ab=- 所以 所以a与b的夹角为135. 点评：两坐标向量的平行(或垂直)的充要条件是将向量运算转化为实数运算的依据，注意平行与垂直的充要条件极易弄错或混淆.,1. 建立平面向量的坐标，基础是平面向量基本定理.因此，对所给向量应会根据条件在x轴和y轴进行分解，求出其坐标. 2. 向量的坐标表示，实际是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合了起来.这样，很多几何问题就转化为我们熟知的数量的运算.,3.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减始点坐标. 4.本节易忽视点有二：一是将向量的终点坐标误认为向量坐标，二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆，须正确区分.,