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1、2.3 离散型随机变量及其分布,离散型随机变量及其分布律 常用的离散型随机变量及其分布 小结 练习,2.3.1 离散型随机变量及其分布律,定义,性质,非负性,归一性,离散型随机变量的分布律也可表示为,说明,解,例1,分布函数,分布律,离散型随机变量分布律与分布函数的关系,离散型随机变量的分布函数是阶梯函数,分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应值的概率; 反之,如果某随机变量的分布函数是阶梯函数,则该随机变量必为离散型.,说明,2.3.2 常见的离散型随机变量及其分布,设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为,则称 X 服从 (0 1) 分布或
2、两点分布.,1. (0 1)分布,实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,随机变量 X 服从 (01) 分布.,实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定,则随机变量 X 服从(0 1)分布.,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.,说明,将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的结果互 不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其 它各次试验的结果, 则称这 n 次试验是相互独立的, 或称为 n 次重复独立试验.,(1) 重复独立试验
3、,2. 二项分布,(2) n 重伯努利试验,伯努利资料,实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬 币抛 n 次,就是n重伯努利试验.,实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就 是 n重伯努利试验.,(3) 二项概率公式,且两两互不相容.,称这样的分布为二项分布. 记为,易验证：,二项分布的图形、性质,解,因此,例2,说明,3. 泊松分布,易验证：,泊松分布的图形,泊松分布的背景,二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时,他 们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射 性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X 服从泊松分布
4、.,在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如，地震、火山爆发、特大洪水、商场接待的顾客数、交换台的电话呼唤次数、交通事故次数等, 都服从泊松分布. 又如，某段时间内候车的乘客数、纺纱机的断头数，某页书上的印刷错误的个数等，都可以用泊松分布来描述.,泊松分布在各领域中有着广泛的应用.,设1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则,可利用泊松定理计算,所求概率为,解,例3 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率
5、是多少?,4. 其它离散分布几何分布,若随机变量 X 的分布律为,则称 X 服从几何分布.,实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品数 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律.,所以 X 服从几何分布.,说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.,解,离散型随机变量,分布律,几类常用的 离散型随机变量,0-1分布,二项分布,泊松分布,小 结,二项分布,EX1,一大楼装有5部电梯,调查表明在任一时刻 t 每部电梯被使用的概率为0.1, 问在同一时刻: (1) 恰有2部电梯被使用的概率是多少? (2) 至多有3部电梯被使用的概率是多少?,EX2,一房间有3扇同样大小的窗子, 其中只有一扇是打开的. 房间里有一只鸟, 试图从开着的窗子飞出房间. 以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数. (1) 假定鸟是没有记忆的, 鸟飞向各窗子是随机的. 求X的分布律. (2) 假定鸟是有记忆的, 它飞向任一窗子的尝试不多于一次, 求X的分布律.,Jacob Bernoulli,Born: 27 Dec 1654 in Basel, Switzerland Died: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland,伯努利资料,