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1、1,2.3 随机变量的分布函数,对于连续型的随机变量，由于它的可能取值不能一个一个地列举出来，因此就不能像离散型随机变量那样可以用分布律来描述它。另外，对于连续型的随机变量X取某一值的概率为零，因此对于连续型的随机变量，我们主要研究它的值落在某一区间的概率， 即Px1 Xx2= PXx2 PXx1 为此我们引进了分布函数的概念.,2,为X 的分布函数.,设 X 为随机变量, x 是任意实数 ,称函数,定义,由定义知 X 落在区间( a ,b 里的概率可用分布函数来计算：,可以看出:分布函数 F (x) 是普通函数,即x是自变量,函数的值均为实数,通过它可以用数学分析的方法研究随机变量.,3,分
2、布函数的性质,F ( x ) 单调不减，即,且,F ( x ) 右连续，即,可以证明:若定义在实数域上的函数 F (x)满足上述三条性质，则它必是随机变量的分布函数.,4,例1,5,6,用分布函数表示概率,7,解 由定义,当 时,当 时，,当 时，,离散型随机变量X 的分布函数,8,故,下面我们从图形上来看一看。,注意右连续,不难看出， 的图形是阶梯状的图形，,在 处有跳跃，其跃度分别等于,9,10,解,例1,例3 设汽车在开往甲地途中需经过 4 盏信号灯, 每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过.令 X 表示首次停下时已通过的信号灯盏数, 求 X 的概率分布与 p = 0.4 时的分布函
3、数.,11,当,12,1,13,从上面的例子可看出，若X 的概率分布为,则X 的分布函数为,14,其中 .,15,例4 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数.,解,16,于是,故 X 的分布函数为,其图形为一连续曲线,17,例5 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标 必须被击中r 次才能被摧毁. 若每次击中目 标的概率为p (0 p 1), 且各次轰击相互独 立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需 轰击次数 X 的概率分布.,例3,巴斯卡 分 布,18,注,利用幂级数
4、在收敛域内可逐项求导的性质,当,19,归纳地,令,20,离散型随机变量的分布律的求法： （1）利用古典概率、条件概率、独立性等计算方法及其运算法则求出事件X=xk的概率pk= PX=xk, k=1,2, , 求法步骤为： 第一步：先确定 X 的全部可能取值 xk, k=1,2,； 第二步：具体求出事件X=xk的概率，即pk。,21,（2）利用分布函数F(x)求概率分布 求法步骤为： 第一步：F(x)的各间断点xk的取值为X的可能取值； 第二步：由pk=PX=xk=F(xk)-F(xk-0)求出事件X=xk的概率。,22,例6,23,(3)利用分布律的基本性质求分布律,例7 一批产品分为一、二、
5、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个作质量检验，用随机变量描述检验的可能结果，试求出它的概率分布。,24,25,（4）利用熟知分布求分布律,26,27,例8（寿命保险问题）设在保险公司里有2500个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险。在一年里每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在每年一月一日付12元保险费，而死亡时家属可到保险公司领取赔付费2000元。,试问：（1）“一年内保险公司亏本”（记为A）的概率是多少？（2）“一年内保险公司获利不少于10000，20000元”（分别记为B1,B2）的概率是多少？,28,若A发生，则有 2500X30000 得 X15（人）,解：每年保险公司收入为250012=30000元，,设X为2500人在一年中死亡的人数，,则保险公司应赔付2000X元，,即若一年中死亡人数超过15人，则公司亏本（此处不计3万元所得利息）,29,30,31,