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1、7.5 离散系统的稳定性与稳态误差,7.5.1 s z 映射,7.5 离散系统的稳定性与稳态误差,稳定系统的特征方程的根全部位于s平面的左半部。这一概念也适用于线性采样系统。,线性采样系统特征方程可以令脉冲传递函数的分母为零而得到，特征方程根的位置就确定了系统是否稳定。,为了在z平面上讨论线性采样系统的稳定性，必须知道s平面和z平面的对应关系。,由z变换定义：,令：,则：,结论：S平面的稳定区域在Z平面上的影象是单位圆内部区域,图参见P348,7.5.2 离散系统稳定的充要条件是, F(z)的全部极点均位于z平面的单位圆内,证明：, 充分性, 必要性,推广的劳斯稳定判据：在线性采样系统中，对z
2、 的有理多 项式，经 的双线性变换，得到 w 的代数方程就 可以应用劳斯判据判稳了。为了区别 s 平面下的劳斯判据， 称 w 平面下的劳斯判据为推广的劳斯稳定判据。,7.5.3 离散系统的稳定判据,（1）w 变换及 w 域的劳斯稳定判裾,因劳斯判据不能直接套用，须引入另一线性变换：,w 变换,设,w 虚轴,z 单位圆,对应w平面,双线性变换,例 已知离散系统特征方程 ，判定系统稳定性。,系统不稳定,直接根据离散系统的闭环特征方程 D(z)=0 的系数，判别其根是否位于z平面上的单位园内，从而判断离散系统是否稳定。,(2) Z 域中的朱利 (Jurry) 稳定判据,朱利阵列见P353。,朱利稳定
3、判据见P353。,例2 已知离散系统特征方程 ，判定系统稳定性。,系统不稳定,例3 已知离散系统特征方程 ，判定系统稳定性。,系统稳定,例4 离散系统结构图如图所示， T=1s,求使系统稳定的K值范围。,解法I w域中的Routh判据,解法II z域中的朱利 (Jurry) 稳定判据,例4 系统结构图如图所示, T=0.25, 求使系统稳定的K值范围。,K与T对离散系统稳定性的影响：,T一定，K增大，离散系统的稳定性变差，甚至使系统变得不稳定。,K一定， T增大，则丢失的信息越多，离散系统的稳定性变差，甚至使系统变得不稳定。,7.5.4 计算稳态误差的一般方法,若 e(z)的极点全部位于Z平面
4、的单位园内，即离散系统是稳定的，则可用Z 变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差。,线性定常离散系统的稳态误差，不但与系统本身的结构参数有关，与输入序列的形式及幅值有关，而且还与采样周期T有关。,1. Z变换中值定理法,例.已知离散系统结构图,K=10, T=0.2,求 r(t)=1(t), t, t2/2 时系统的e()。,解,系统稳定,Jury:,T=0.2, K=10,2. 静态误差系数法 r(t) 作用时e()的计算规律 ( 适用于系统稳定, r(t)作用,对误差采样的线性离散系统 ),设,静态位置误差系数,静态速度误差系数,静态加速度误差系数,解,例2 稳定离散系统的结构图如图所示，已
5、知r(t)=2t, 试讨论有或没有ZOH 时的e()。,无ZOH时,有ZOH时, 与 T 有关, 与 T 无关,例3 已知系统结构图 (T=0.25), r(t)=21(t)+t, 使e()0.5, 求K范围。,解,判定稳定性,Jury:,综上：,1.通过闭环脉冲传递函数（或直接），求出系统在典型输入信号（通常假定为单位阶跃函数）作用下的输出响应C(z)，并展成幂级数； 2.通过 z 反变换，求出输出信号的的脉冲序列c*(t)； 3.离散系统的时域指标的定义与连续系统相同。,7.6 离散系统动态性能分析,一.离散系统的时间响应,通过闭环脉冲传递函数，求出系统在典型输入信号作用下的输出响应，可以
6、分析系统的动态性能。根据系统在z平面上的零、极点分布，也可以估计系统的动态性能。,例4 系统结构图如图所示,T=K=1, 求系统动态指标( %, ts )。,解,用长除法求系统单位阶跃响应序列 h(k),采样器和保持器不影响开环脉冲传递函数的极点，但影响开环脉冲传递函数的零点，则影响闭环脉冲传递函数的极点；从而影响闭环离散系统的动态性能。,二. 采样器和保持器对动态性能的影响,1.采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小，但超调量增大。采样造成的信息丢失会降低系统的稳定程度；但在大延迟的系统中，误差采样反而会提高系统的稳定程度。 2.零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间加大，超调量和振荡次数
7、增加。零阶保持器的相角滞后降低了系统的稳定程度。,结论：,例4 系统结构图如图所示,T=K=1, 求系统动态指标( %, ts )。,解,例4续,图 连续与离散系统的时间响应曲线,离散系统闭环脉冲传递函数的极点在 z 平面上单位园内的分布，对系统的动态响应具有重要的影响。,三. 闭环极点与动态响应的关系,1.闭环实数极点位于右半 z 平面，则输出动态响应形式为单向正脉冲序列。园外发散，圆上等幅，园内收敛；且实极点越接近原点，收敛越快。 2.闭环实数极点位于左半 z 平面，则输出动态响应形式为双向交替脉冲序列。园外发散，圆上等幅，园内收敛；且实极点越接近原点，收敛越快。,1. 正实轴上的闭环单极
8、点（见下页图）,结论：,因衰减脉冲交替变号，故动态工程质量很差。,综上： 在离散系统设计时，应把闭环极点安置在 z 平面的右半单位园内，且尽量靠近原点。,2. z 平面上的闭环共轭复数极点（见P364页图）,结论：,动态响应为振荡脉冲序列。园外发散，圆上等幅，园内收敛；且复极点越接近原点，收敛越快。 对于单位园内的共轭复数极点，左半单位园内所对应的振荡频率高于右半单位园内的情况。左半单位园内输出衰减高频振荡脉冲，故动态性能欠佳。,课程小结,7.5.1 s z w 映射,7.5 离散系统的稳定性分析,7.5.2 离散系统稳定的充要条件, F(z)的全部极点均位于z平面的单位圆内,7.5.3 离散系统的稳定判据,(1) w域中的劳斯(Routh)稳定判据,(2) z域中的朱利 (Jurry) 稳定判据,(3) z域中的根轨迹法,7.5.4 离散系统的稳态误差,7.6 离散系统的动态性能分析,求F(z), 长除法求h(k), 按定义确定s, ts 。,